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第1课时合情推理基础达标(水平一)1.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间中的结论:垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行;垂直于同一个平面的两个平面互相平行.其中正确的结论是().A.B.C.D.【解析】由立体几何中线面之间的位置关系知是正确的结论.【答案】B2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据图中的数构成的规律,推出a所表示的数是().A.16B.18C.20D.22【解析】由杨辉三角可以发现,每一行除1外,每个数都是它“肩上”的两个数之和,故a=10+10=20.【答案】C3.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,则52011的末四位数字为().A.3125B.5625C.0625D.8125【解析】55=3125,56=15625,57=78125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125,510的末四位数字为5625,511的末四位数字为8125,512的末四位数字为0625,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现,52011=54501+7的末四位数字为8125.【答案】D4.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V136L2h,实际上它是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为().A.227B.258C.15750D.355113【解析】设圆锥的底面圆的半径为r,则L=2r,将136L2h13Sh,代入S=r2,化简得3.类比推理可知,若V275L2h,则258.【答案】B5.若数列an中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,则a10=.【解析】因为前9项共使用了1+2+9=45个奇数,前10项共使用了1+2+3+4+10=55个奇数,所以a10为从第46个到第55个奇数的和,即a10=(246-1)+(247-1)+(255-1)=10(91+109)2=1000.【答案】10006.若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.由类比推理可得:在等比数列bn中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=.【解析】将等差数列前n项和类比到等比数列前n项积,将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”.因为若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an,所以由类比可得:在等比数列bn中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=bn2n-1.【答案】bn2n-17.在平面几何中,研究正三角形内任意一点与三边的关系时,有真命题:边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题,请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题,并给出简要的证明.【解析】类比所得的真命题:棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a.证明:设M是正四面体PABC内任意一点,点M到平面ABC,平面PAB,平面PAC,平面PBC的距离分别为d1,d2,d3,d4.由于正四面体四个面的面积相等,故有VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC=13SABC(d1+d2+d3+d4).而SABC=34a2, VP-ABC=212a3,故d1+d2+d3+d4=63a.拓展提升(水平二)8.设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c.类比这个结论,设四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为R,四面体SABC的体积为V,则R的值为().A.VS1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4【解析】设四面体SABC的内切球球心为点O,由V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,即V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R,可得R=3VS1+S2+S3+S4.【答案】C9.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16,这样的数称为“正方形数”.如图,可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的表达式是().13=3+10;25=9+16;36=15+21;49=18+31;64=28+36.A.B.C.D.【解析】这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45,且“正方形数”是“三角形数”中相邻的两个数之和,可得到15+21=36,28+36=64,所以是对的.【答案】C10.我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为S=12cr.类比这个结论,在空间中,如果一个凸多面体有内切球,且内切球半径为R,类比推导凸多面体的体积V、表面积S与内切球半径R之间的关系为.【解析】类比平面中凸多边形的面积的求法,将空间凸多面体的内切球与各个顶点连接起来,将凸多面体分割成若干个小棱锥,每个棱锥都以多面体的面为底面,以内切球的半径为高,从而V=13S1R+13S2R+13SnR=13(S1+S2+Sn)R=13SR(S1,S2,Sn为凸多面体的各个面的面积).【答案】V=13SR11.已知f(x)=13x+3,分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值,归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.【解析】由f(x)=13x+3,得f(0)+f(1)=130+3+131+3=33,f(-1)+f(2)=13-1+3+132+3=33,f(-2)+f(3)=13-2+3+133+3=33.归纳猜想一般性结论为f(-x)+f(x+1)=33.证明如下:f(-x)+f(x+1)=13-x+3+13x+1+3=33x+13+3x+1=33x+13(1+33x)=33.
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