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组合增分练9解答题型综合练B1.等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列1bn的前n项和.2.如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,BC=2AD=2AB=4,将ABD沿BD折到ABD的位置,使平面ABD平面CBD.(1)求证:CDAB;(2)试在线段AC上确定一点P,使得三棱锥P-BDC的体积为439.3.某化妆品商店为促进顾客消费,在“三八”妇女节推出了“分段折扣”活动,具体规则如下表:购买商品金额折扣消费不超过200元的部分9折消费超过200元但不超过500元的部分8折消费超过500元但不超过1 000元的部分7折消费超过1 000元的部分6折例如,某顾客购买了300元的化妆品,她实际只需付:2000.9+1000.8=260(元).为了解顾客的消费情况,随机调查了100名顾客,得到如下统计表:购买商品金额(0,200(200,500(500,1 0001 000以上人数10403020(1)写出顾客实际消费金额y与她购买商品金额x之间的函数关系式(只写结果);(2)估算顾客实际消费金额y不超过180的概率;(3)估算顾客实际消费金额y超过420的概率.4.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为12,P为C上动点,且满足F2P=PQ(0),|PQ|=|PF1|,QF1F2面积的最大值为4.(1)求点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程;(2)直线y=kx+m(m0)与椭圆C相切且与曲线E交于M,N两点,求|MN|的取值范围.5.设f(x)=13x3+mx2+nx.(1)如果g(x)=f(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;(2)如果m+n0,则q=13.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13.故数列an的通项公式为an=13n.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-n(n+1)2.故1bn=-2n(n+1)=-21n-1n+1,1b1+1b2+1bn=-21-12+12-13+1n-1n+1=-2nn+1.所以数列1bn的前n项和为-2nn+1.2.(1)证明 在等腰梯形ABCD中,过点A作AEBC于E,过点D作DFBC于F(图略),则AEDF,EF=AD=2.又在等腰梯形ABCD中,RtABERtDCF,且BC=4,BE=FC=1,cos C=12.在BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=42+22-24212=12,BD2+CD2=BC2,CDBD.平面ABD平面CBD,平面ABD平面CBD=BD,CD平面ABD,CDAB.(2)解 由(1)知VA-BCD=13SBCDh=13122321=233,设AP=AC,则VP-BCD=VA-BCD,即439=233,解得=23,点P在线段AC靠近A的三等分点处.3.解 (1)y=0.9x,x200,0.8x+20,200x500,0.7x+70,5001 000.(2)令y180,解得x200,顾客实际消费金额y不超过180的概率为10100=0.1.(3)令y420,解得x500,顾客实际消费金额y超过420的概率为30+20100=0.5.4.解 (1)由椭圆定义得:|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a,所以点Q的轨迹是以F2为圆心,2a为半径的圆.当QF2F1F2时,QF1F2面积最大,所以122c2a=4,得ac=2.又ca=12,可得a=2,c=1.所以点Q的轨迹E的方程为x2+(y+1)2=16,椭圆C的方程为y24+x23=1.(2)由y=kx+m,y24+x23=1得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0.化简,得3k2-m2+4=0,所以k2=m2-430,又m0,得m2.设圆心F2(0,-1)到直线MN的距离为d,则d=|m+1|1+k2=3(m+1)m-1=3+6m-1.由m2,得33+6m-19,即30,即m2n.不妨设为x1,x2,则|x2-x1|=2m2-n为正整数.故m2时才可能有符合条件的m,n;当m=2时,只有n=3符合要求;当m=3时,只有n=5符合要求;当m4时,没有符合要求的n.综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.6.解 (1)圆C的极坐标方程为=2cos ,圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.把x=-1+tcos,y=tsin代入x2+y2-2x=0,得t2-4tcos +3=0,又直线l与圆C交于A,B两点,=16cos2-120,解得cos 32或cos -32.又由0,),故的取值范围为0,656,.(2)设方程t2-4tcos +3=0的两个实数根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义可知1|PA|+1|PB|=|t1+t2|t1t2=|4cos|3.又由32|cos |1,233|4cos|343,1|PA|+1|PB|的取值范围为233,43.7.解 (1)因为f(x)=|2x-3|-|2x|(2x-3)-2x|=3,若关于x的不等式f(x)|a+2|+2a恒成立,则3|a+2|+2a,得a13.(2)由柯西不等式得1x+2y+z+3z+3x=121x+2y+z+3z+3x(x+2y+z)+(z+3x)12(3+1)2=2+3.当且仅当1x+2y+z=3z+3x时取最小值2+3.
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