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考点规范练39直线、平面平行的判定与性质一、基础巩固1.对于空间的两条直线m,n和一个平面,下列命题中的真命题是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,n,则mnD.若m,n,则mn答案D解析对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形的序号是()A.B.C.D.答案C解析对于图形,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB平面MNP;对于图形,ABPN,即可得到AB平面MNP;图形无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.3.设l表示直线,表示平面.给出四个结论:若l,则内有无数条直线与l平行;若l,则内任意的直线与l平行;若,则内任意的直线与平行;若,对于内的一条确定的直线a,在内仅有唯一的直线与a平行.以上四个结论中,正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3答案C解析中内的直线与l可异面,中可有无数条.4.(2018浙江,6)已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当m,n时,由线面平行的判定定理可知,mnm;但反过来不成立,即m不一定有mn,m与n还可能异面.故选A.5.已知平面和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是()A.如果m,n,m,n是异面直线,那么nB.如果m,n与相交,那么m,n是异面直线C.如果m,n,m,n共面,那么mnD.如果m,nm,那么n答案C解析如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m,n是内的任意直线,都有nm,故D错.n,n与无公共点,m,n与m无公共点,又m,n共面,mn,故选C.6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论不正确的是()A.MCANB.GB平面AMNC.平面CMN平面AMND.平面DCM平面ABN答案C解析显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取AN的中点H,连接HB,MH,则MCHB,又HBAN,所以MCAN,所以A正确;由题意易得GBMH,又GB平面AMN,MH平面AMN,所以GB平面AMN,所以B正确;因为ABCD,DMBN,且ABBN=B,CDDM=D,所以平面DCM平面ABN,所以D正确.7.已知平面,P且P,过点P的直线m与,分别交于A,C,过点P的直线n与,分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.答案245或24解析如图(1),ACBD=P,经过直线AC与BD可确定平面PCD.,平面PAB=AB,平面PCD=CD,ABCD.PAAC=PBBD,即69=8-BDBD,解得BD=245.图(1)图(2)如图(2),同理可证ABCD.PAPC=PBPD,即63=BD-88,解得BD=24.综上所述,BD=245或24.8.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.答案6解析过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,ABCD,BAAD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为.答案平行解析取PD的中点F,连接EF,AF,在PCD中,EF12CD.ABCD且CD=2AB,EFAB,四边形ABEF是平行四边形,EBAF.又EB平面PAD,AF平面PAD,BE平面PAD.10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件时,有平面D1BQ平面PAO.答案Q为CC1的中点解析如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QBPA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1BPO.又D1B平面PAO,QB平面PAO,所以D1B平面PAO,QB平面PAO.又D1BQB=B,所以平面D1BQ平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ平面PAO.11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACAB,AB=2AA1,M是AB的中点,A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.(1)若BE=3EC,求证:DE平面A1MC1;(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.(1)证明如图,取BC中点N,连接MN,C1N.M是AB的中点,MNACA1C1,M,N,C1,A1共面.BE=3EC,E是NC的中点.又D是CC1的中点,DENC1.DE平面MNC1A1,NC1平面MNC1A1,DE平面A1MC1.(2)解如图,当AA1=1时,AM=1,A1M=2,A1C1=2.三棱锥A-MA1C1的体积VA-A1MC1=VC1-A1AM=1312AMAA1A1C1=26.图图12.如图,在多面体ABCDE中,平面ABE平面ABCD,ABE是等边三角形,四边形ABCD是直角梯形,ABAD,ABBC,AB=AD=12BC=2,M是EC的中点.(1)求证:DM平面ABE;(2)求三棱锥M-BDE的体积.(1)证法一取BE的中点O,连接OA,OM,O,M分别为线段BE,CE的中点,OM=12BC.又AD=12BC,OM=AD,又ADCB,OMCB,OMAD.四边形OMDA为平行四边形,DMAO,又AO平面ABE,MD平面ABE,DM平面ABE.证法二取BC的中点N,连接DN,MN(图略),M,N分别为线段CE,BC的中点,MNBE,又BE平面ABE,MN平面ABE,MN平面ABE,同理可证DN平面ABE,MNDN=N,平面DMN平面ABE,又DM平面DMN,DM平面ABE.(2)解法一平面ABE平面ABCD,ABBC,BC平面ABCD,BC平面ABE,OA平面ABE,BCAO,又BEAO,BCBE=B,AO平面BCE,由(1)知DM=AO=3,DMAO,DM平面BCE,VM-BDE=VD-MBE=1312223=233.解法二取AB的中点G,连接EG,ABE是等边三角形,EGAB,平面ABE平面ABCD=AB,平面ABE平面ABCD,且EG平面ABE,EG平面ABCD,即EG为四棱锥E-ABCD的高,M是EC的中点,M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,VM-BDE=VE-BDC-VM-BDC=12VE-BDC,VM-BDE=121312243=233.即三棱锥M-BDE的体积为233.二、能力提升13.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14,H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D.EH平面ADC,且四边形EFGH是梯形答案B解析如图,由题意得,EFBD,且EF=15BD.HGBD,且HG=12BD,EFHG,且EFHG.四边形EFGH是梯形.又EF平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故B正确.14.设,为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“=m,n,且,则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.,n;m,n;n,m.可以填入的条件有()A.B.C.D.答案C解析由面面平行的性质定理可知,正确;当n,m时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,正确.选C.15.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.答案22a3解析如图所示,连接AC,易知MN平面ABCD.又平面PQNM平面ABCD=PQ,MN平面PQNM,MNPQ.又MNAC,PQAC.AP=a3,PDAD=DQCD=PQAC=23,PQ=23AC=223a.16.在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点.如果直线SB平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为.答案452解析取AC的中点G,连接SG,BG.易知SGAC,BGAC,故AC平面SGB,所以ACSB.因为SB平面DEFH,SB平面SAB,平面SAB平面DEFH=HD,所以SBHD.同理SBFE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF12ACDE,所以四边形DEFH为平行四边形.又ACSB,SBHD,DEAC,所以DEHD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HFHD=12AC12SB=452.17.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证:平面AB1C平面DA1C1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,知AB1DC1,A1DB1C.AB1B1C=B1,A1DDC1=D,平面AB1C平面DA1C1.(2)解存在这样的点P满足题意.如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,B1BCC1,BB1CP,四边形BB1CP为平行四边形,BPB1C.A1DB1C,BPA1D.又A1D平面DA1C1,BP平面DA1C1,BP平面DA1C1.三、高考预测18.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将AEF沿线段EF折起到AEF位置,使得AC=26.(1)求五棱锥A-BCDFE的体积;(2)在线段AC上是否存在一点M,使得BM平面AEF?若存在,求AM;若不存在,请说明理由.解(1)连接AC,设ACEF=H,连接AH.因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,所以H是EF的中点,且EFAH,EFCH.从而有AHEF,CHEF,又AHCH=H,所以EF平面AHC,且EF平面ABCD.从而平面AHC平面ABCD.过点A作AO垂直HC且与HC相交于点O,则AO平面ABCD.因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,所以AH=22,CH=42,所以cosAHC=AH2+CH2-AC22AHCH=8+32-2422242=12.所以HO=AHcosAHC=2,则AO=6.所以五棱锥A-BCDFE的体积V=1362-12446=2863.(2)线段AC上存在点M,使得BM平面AEF,此时AM=62.证明如下:连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.AM=62=14AC,HO=14HC,所以OMAH.又OM平面AEF,AH平面AEF,所以OM平面AEF.又BDEF,BD平面AEF,EF平面AEF,所以BD平面AEF.又BDOM=O,所以平面MBD平面AEF,因为BM平面MBD,所以BM平面AEF.
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