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(四)解析几何1(2018苏州市高新区一中考试)如图，椭圆C：1(ab0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OPAF.(1)若点P的坐标为(，1)，求椭圆C的方程；(2)延长AF交椭圆C于点Q，已知椭圆的离心率为，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的m倍，求实数m的值解(1)因为点P(，1)，所以kOP，又因为AFOP，1，所以cb，所以3a24b2，又点P(，1)在椭圆C上，所以1，解得a2，b2.故椭圆方程为1.(2)因为e，即，所以.又因为kAQkBQ，所以m2.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于A，B两点，AB2，C，D是椭圆E上异于A，B的两点，且直线AC，BD相交于点P，直线AD，BC相交于点Q.(1)求椭圆E的标准方程；(2)求证：直线PQ的斜率为定值(1)解因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a2b.所以椭圆方程为1.由题意不妨设点A在第二象限，点B在第四象限，由得A.又AB2，所以OA，则2b2b2b210，得b2，a4.所以椭圆E的标准方程为1.(2)证明由(1)知，椭圆E的方程为1，A(2，)，B(2，)当直线CA，CB，DA，DB的斜率都存在，且不为零时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2.从而k1kCB，所以kCB.同理kDB.所以直线AD的方程为yk2(x2)，直线BC的方程为y(x2)，由解得从而点Q的坐标为.用k2代替k1，k1代替k2得点P的坐标为.所以kPQ.即直线PQ的斜率为定值.当直线CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，)设DA的斜率为k，由知，kDB.因为直线CA：x2，直线DB：y(x2)，得P.又直线BC：y，直线AD：yk(x2)，得Q，所以kPQ.由可知，直线PQ的斜率为定值.3.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率是，右准线的方程为x.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，过x轴上的一个定点M作直线l与椭圆C交于A，B两点，若三条直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点M的坐标解(1)因为椭圆的离心率为，右准线的方程为x，所以e，则a2，c，b1，椭圆C的方程为y21.(2)设M(m,0)，当直线l为y0时，A(2,0)，B(2,0)，PA，PM，PB的斜率分别为kPA，kPM，kPB，因为直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，所以，m8.证明如下：当M(8,0)时，直线PA，PM，PB的斜率构成等差数列，设AB：yk(x8)，代入椭圆方程x24y240，得x24k2(x8)240，即(14k2)x264k2x256k240，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1,2，所以x1x2，x1x2，又kPM，所以kPAkPB2k2k2k2k2kPM，即证4(2018江苏省前黄中学等五校联考)如图，已知椭圆E：1(ab0)的左顶点A(2,0)，且点在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点过点A作斜率为k(k0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1CAB，求k的值解(1)由题意得解得椭圆E的标准方程为1.(2)CF1F2为等腰三角形，且k0，点C在x轴下方，若F1CF2C，则C(0，)；若F1F2CF2，则CF22，C(0，)；若F1CF1F2，则CF12，C(0，)，C(0，)直线BC的方程为y(x1)，由得或B.(3)设直线AB的方程lAB：yk(x2)，由得(34k2)x216k2x16k2120，xAxB2xB，xB，yBk(xB2)，B，若k，则B，C，F1(1,0)，kCF1，F1C与AB不垂直，k.F2(1,0)，kBF2，kCF1，直线BF2的方程lBF2：y(x1)，直线CF1的方程lCF1：y(x1)由解得C(8k21，8k)又点C在椭圆上，得1，即(24k21)(8k29)0，即k2，k0，k.
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