2020版高二数学上学期期中试题 理(含解析).doc

2020版高二数学上学期期中试题 理(含解析)一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的）1抛物线的焦点坐标为（）ABCD【答案】B【解析】解：由，得，则，所以抛物线的焦点坐标是故选2设，是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：；其中正确的命题是（）ABCD【答案】B【解析】解：由面面平行的性质可知，则，故正确；若，则或与相交，故错误；若，则存在，且，又，得，所以，故正确；若，则或，故错误故选3若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】解：若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得故选4如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）ABCD【答案】C【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是，高是，上面是一个球，球的半径是，所以该几何体的体积故选5椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（）A，B，C，D，【答案】C【解析】解：椭圆化为标准方程为：，可得，所以椭圆的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为：，故选6若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（）ABCD【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，由该圆锥的轴截面是正三角形，得，解得故选7抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（）ABCD【答案】B【解析】解：抛物线上一点到其焦点的距离为，解得，点到坐标原点的距离为故选8如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为，下部为一直三棱柱，其高为，底面为一边长为的正三角形，且由三视图知此三角形的高为，故三棱柱的侧面积为，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：，故组合体的表面积为故选9双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的实轴长为（）ABCD【答案】C【解析】解：双曲线的一个焦点坐标为，得，双曲线的实轴长为故选10已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为（）ABC或D或【答案】D【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的倍，即有，又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，若焦点在轴上，则，椭圆方程为，若焦点在轴上，则，椭圆方程为，椭圆的标准方程为或故选11点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率等于（）ABCD【答案】C【解析】解：点到双曲线的渐近线的距离为，双曲线的离心率故选12对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得与都垂直于；存在平面，使得与都平行于；存在直线，直线，使得其中，可以判定与平行的条件有（）A个B个C个D个【答案】A【解析】解：项、存在平面，使得，都垂直于，则，不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故错误；项、若，则由面面平行的性质可得，故正确；项、若直线，与可能相交，故错误故选13一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）ABCD【答案】A【解析】解：根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，平面，且，这个四棱锥中最长棱的长度是故选14已知椭圆和圆，当实数在闭区间内从小到大连续变化时，椭圆和圆公共点个数的变化规律是（）A，B，C，D，【答案】A【解析】解：椭圆的顶点坐标为，圆，表示以为圆心，为半径的圆，当时，椭圆与圆只有一个焦点，当时，圆向右平移，与椭圆有两个交点，当时，圆与椭圆只有个交点，当时，圆椭圆在内部，此时椭圆与圆无公共点，当在闭区间从小到大连续变化时，椭圆和圆公共点个数的变化规律是，故选二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）15双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为和，且经过点，则双曲线的标准方程是_【答案】【解析】解：由题意，故双曲线的标准方程是16如图在正三角形中，分别为各边的中点，分别为、的中点，将沿、折成三棱锥以后，与所成角的大小为_【答案】【解析】解：将沿，折成三棱锥以后，点，重合为点，得到三棱锥，分别为，的中点，侧棱，与所成的角即是与所成的角，与所成角的大小为17从正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为_【答案】【解析】解：与直线垂直的平面有平面和平面，故与直线垂直的平面的个数为18已知椭圆的左右焦点为，离心率为，若为椭圆上一点，且，则的面积等于_【答案】【解析】解：由题意，得，为椭圆上一点，且，即，得，故的面积19抛物线上两个不同的点，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为_【答案】【解析】解：设直线的方程为代入抛物线，消去得,设，则，（舍去）或,故直线过定点20如图，正方体中，为面（包括边界）内一动点，当点与重合时，异面直线与所成的角的大小为_；当点在运动过程中始终保持平面，则点的轨迹是_【答案】；线段【解析】解：当点与重合时，即,即直线与所成的角，是等边三角形，故异面直线与所成的夹角是，平面平面，平面，且在平面内，点在平面与平面的交线上，故点的轨迹是线段三、解答题（共5小题，满分64分解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）21（本题分）如图，四棱锥的底面为菱形，分别为和的中点（）求证：平面（）求证：平面【答案】见解析【解析】解：（）证明：取中点为，在中，是中点，是中点，且，又底面是菱形，是中点，且，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面（）证明：设，则是中点，底面是菱形，又，是中点，又，平面22（本小题分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，（）求与平面所成角的正弦（）求二面角的余弦值【答案】见解析【解析】解：（）是矩形，又平面，即，两两垂直，以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，得，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，故与平面所成角的正弦值为（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，故二面角的余弦值为23（本题分）已知抛物线过点，且点到其准线的距离为（）求抛物线的方程（）直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值【答案】见解析【解析】解：（）已知抛物线过点，且点到准线的距离为，则，故抛物线的方程为：（）由得，设，则，或，经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不符合题意，当时，符合题意，综上，实数的值为24（本题分）已知点，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点（）求椭圆的方程（）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程【答案】见解析【解析】解：（）设，由直线的斜率为得，解得，又离心率，得，故椭圆的方程为（）当直线轴时，不符合题意，当直线斜率存在时，设直线，联立，得，由，得，即或，又点到直线的距离，的面积，设，则，当且仅当，即时，等号成立，且，直线的方程为：或25（本题分）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）（）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”（）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”【答案】见解析【解析】解：（）集合不是“和谐集”（）集合，证明：，集合是“和谐集”（）证明：不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有，或者，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有，或者，由得，矛盾，由得，矛盾，由得矛盾，由得矛盾，故当时，集合一定不是“和谐集”