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2.2一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系2.会解一元二次不等式.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.一元二次不等式的解集判别式b24ac000)的图象方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xRax2bxc0)的解集x|x1 x0(a0)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？提示ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围2一元二次不等式ax2bxc0(0恒成立的条件是ax2bxc0恒成立的条件是题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0，则RA等于()Ax|2x3Bx|2x3Cx|x3Dx|x2x|x3答案B解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.题组三易错自纠4不等式x23x40的解集为_(用区间表示)答案(4,1)解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x0的解集是，则ab_.答案14解析由题意可知，x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.6不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B(2,2C(2,2) D(，2)答案B解析由解得2a2，另a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.故选B.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1已知集合Ax|x2x20，By|y2x，则AB等于()A(1,2) B(2,1)C(0,1) D(0,2)答案D解析由题意得Ax|x2x20x|1x0，ABx|0x2(0,2)故选D.命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以(x1)1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：根据二次项系数为正、负及零进行分类根据判别式判断根的个数有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论跟踪训练1解不等式12x2axa2(aR)解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例3已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围解当m0时，f(x)10恒成立当m0时，则即4m0.综上，4m0，故m的取值范围是(4,0命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.引申探究1若将“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5m无解”，如何求m的取值范围？解若f(x)5m无解，即f(x)5m恒成立，即m恒成立，则mmax，又x1,3，得m6，即m的取值范围为6，)2若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围解由题意知f(x)5m有解，即m有解，则mmax，又x1,3，得m6，即m的取值范围为(，6)命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2mx10对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围解设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，则即解得x，故x的取值范围为.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练2函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x(，2时，g(x)0.即即可得7a6，综上，实数a的取值范围是7,2(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)1已知集合Ax|x0，Bx|(x1)(x5)0，则AB等于()A1,4) B0,5)C1,4D4，1) 4,5)答案B解析由题意得Bx|1x5，故ABx|x0x|1x0的解集为x|1x0的解集为()A.B.Cx|2x1Dx|x1答案A解析不等式ax2bx20的解集为x|1x2，ax2bx20的两根为1,2，且a0，解得，故选A.3若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0 C3,0) D(3,0答案A解析由题意可得解得3k0.4若存在实数x2,4，使x22x5mx22x5，设f(x)x22x5(x1)24，x2,4，当x2时，f(x)min5，存在x2,4使x22x5mf(x)min，m5.故选B.5若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3答案B解析原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3，综上可得4a3.6(2018浙江宁波十校适应性测试)当x(a，b时，不等式1恒成立，则实数a的取值范围为()A2,3) B(2,3C(2,3) D2答案A解析由1，得10，解得2320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售价应定为12元到16元之间9若不等式x2ax40对一切x(0,1恒成立，则a的取值范围为_答案5，)解析由题意，分离参数后得，a.设f(x)，x(0,1，则只要af(x)max即可由于函数f(x)在区间(0,1上单调递增，所以f(x)maxf(1)5，故a5.10设aR，若x1,2时，均有(xa)(x22a)0，即当x1,2时，均有x2.当a0，即当x1,2时，均有x22a0，则(x22a)max0，即42a0，得a2或a0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解得12(2018浙江绍兴一中模拟)已知f(x)x22ax3a2.(1)设a1，解不等式f(x)0；(2)若不等式f(x)，且当x1,4a时，|f(x)|4a恒成立，试确定a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)0，即x22x30，解得x3或x0的解集为(，1)(3，)(2)f(x)xx2(2a1)x3a2，令g(x)x2(2a1)x3a2，若a0，则f(x)x的解集为(0,1)，不满足条件；若a0，由g(0)3a20知x0是不等式f(x)x的一个整数解，所以由得a0.综上，a的取值范围为.(3)若1，因为|f(a)|4a2，|f(4a)|5a2，所以由得此不等式的解集为.综上，a的取值范围是.13若不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_答案8,4解析因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由一元二次不等式的性质可知，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.14已知b，cR，若关于x的不等式0x2bxc4的解集为x1，x2x3，x4(x2x3)，则(2x4x3)(2x1x2)的最小值是_答案4解析如图，据题意可知x1，x4是方程x2bxc4的两根，x2，x3是方程x2bxc0的两根由根与系数的关系可得(2x4x3)(2x1x2)2(x4x1)(x3x2)22，令b24ct，则有(2x4x3)(2x1x2)f(t)2，令f(t)0，解得t，当0t时，f(t)时，f(t)0，f(t)单调递增据题意可知f(t)minf4.15(2019杭州高级中学仿真测试)若关于x的不等式(x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，则2ab的最小值为_答案0解析要使2ab取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况，因此当a0，与b0矛盾；当a0b时，不等式(x2a)(2xb)0等价于2xb0，即b2x在(a，b)上恒成立，则b2a，即2ab0，此时2ab的最小值为0；当0a0.综上可知，2ab的最小值为0.16(2018浙江省海盐高级中学期中)已知函数f(x)x2(a2)x2a，若集合AxN|f(x)0中有且只有一个元素，求实数a的取值范围解集合AxN|f(x)0，亦即a28a40，方程x2(a2)x2a0的根为x1，x2.又f(0)2a，若f(0)2a2，此时x21，则集合AxN|f(x)0中至少有两个元素0,1，不符合题意；故f(0)2a0，a2，此时要使集合AxN|f(x)0中有且只有一个元素，需满足即解得a，即a的取值范围是.
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