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11.1变化率问题 11.2导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值的改变量为y2y1，记作y.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案对山路AB来说，用可近似地刻画其陡峭程度梳理函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率知识点二瞬时速度思考1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2.试求物体在1,1t这段时间内的平均速度答案s5(1t)2510t5(t)2，105t.思考2当t趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？答案当t趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t1时的瞬时速度梳理瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物体在t0到t0t这段时间内的平均速度为.如果t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻tt0时的瞬时速度，即瞬时速度v .知识点三函数在某点处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或，即f(x0) .1在平均变化率中，函数值的增量为正值()2瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()3函数yf(x)在xx0处的导数值与x的正、负无关()类型一函数的平均变化率例1求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？考点变化问题与变化率题点变化率大小的比较解在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小关系不确定考点平均变化率题点平均变化率的应用答案B解析设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC，所以v甲v乙类型二求瞬时速度例3某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度考点求瞬时速度题点用极限思想求瞬时速度解3t， (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.引申探究1若例3中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t， (1t)1.物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又(2t01)t. (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；求平均速度；求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v .跟踪训练3一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用解质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率质点M在t2附近的平均变化率为4aat， 4a8，即a2.类型三导数定义的应用例4(1)若函数f(x)可导，则 等于()A2f(1) B.f(1)Cf(1) Df考点导数的概念题点导数的概念的简单应用答案C解析 f(1)(2)求函数yx在x1处的导数考点导数的概念题点导数的概念的简单应用解因为y(1x)x，所以1. 2，所以f(1)2，即函数yx在x1处的导数为2.反思与感悟(1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤求函数的增量yf(x0x)f(x0)；求平均变化率；求极限 .(2)瞬时变化率的变形形式 f(x0)跟踪训练4已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用解f(x0) (6x03x)6x0，又f(x0)6，6x06，即x01.1设函数yf(x)x21，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A2.1 B1.1 C2 D0考点平均变化率题点函数的平均变化率答案A解析2.1.2物体运动方程为s(t)3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v 18 m/s，则下列说法中正确的是()A18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B18 m/s是物体从3 s到(3t)s这段时间内的速度C18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D18 m/s是物体从3 s到(3t)s这段时间内的平均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案C3设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于()A2 B2 C3 D3考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用答案D解析因为f(1) a.因为f(1)3，所以a3.4如图，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是_考点平均变化率题点平均变化率的应用答案x3，x4解析由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上平均变化率分别为，结合图象可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x45一物体的运动方程为s(t)7t213t8，则t0_时该物体的瞬时速度为1.考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案1解析 (14t0137t)14t0131，得t01.理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率表示点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势自变量的改变量x取值越小，越能准确体现函数的变化情况利用导数定义求导数：(1)取极限前，要注意化简，保证使x0时分母不为0.(2)函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关(3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛一、选择题1已知函数y2，当x由1变到2时，函数的增量y等于()A. B C1 D1考点函数自变量、因变量的增量题点函数因变量的增量答案B解析y(21).2函数f(x)5x3在区间a，b上的平均变化率为()A3 B4 C5 D6考点平均变化率题点函数的平均变化率答案C解析平均变化率为5.3一质点运动的方程为s53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()A3 B3 C6 D6考点求瞬时速度题点用极限思想求瞬时速度答案D解析由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t1时的瞬时速度为s (3t6)6.4已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数yf(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是()A曲线yf(x)的割线AB的倾斜角为B曲线yf(x)的割线AB的倾斜角为C曲线yf(x)的割线AB的斜率为D曲线yf(x)的割线AB的斜率为考点平均变化率题点平均变化率的应用答案B解析函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB，割线AB的倾斜角为，故选B.5若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 1，则f(0)等于()A2 B2C1 D1考点导数的概念题点导数的概念的简单应用答案C解析f(x)图象过原点，f(0)0，f(0) 1，故选C.6已知函数f(x)则函数f(x)在x1处的导数为()A2 B3 C4 D6考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用答案D解析f(1)4，f(1) (63x)6.7已知函数f(x)，且f(m)，则m的值等于()A2 B2C2 D4考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用答案A解析f(x) ，于是有，m24，解得m2.二、填空题8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为_考点平均变化率题点平均变化率的应用答案123解析1kOA，2kAB，3kBC，由图象知，kOAkAB0)上的平均变化率不大于1，求x的取值范围考点平均变化率题点平均变化率的应用解函数f(x)在2,2x上的平均变化率为3x，由3x1，得x2.又x0，x的取值范围是(0，)13已知f(x)x2，g(x)x3，求适合f(x0)2g(x0)的x0的值考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用解由导数的定义知，f(x0) 2x0，g(x0) 3x.因为f(x0)2g(x0)，所以2x023x，即3x2x020.解得x0或x0.四、探究与拓展14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx，y0，xt(t0)围成的OAB的面积为S(t)，则S(t)在t2时的瞬时变化率是_考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案2解析xt时，yt，B(t，t)，则ABt，S(t)OAABttt2，S(2) 2.15若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)sf(t)求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度考点求瞬时速度题点用极限思想求瞬时速度解(1)因为物体在t3,5内的时间变化量为t532，位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，所以物体在t3,5内的平均速度为24 m/s.(2)求物体的初速度v0，即求物体在t0时的瞬时速度因为物体在t0附近位移的平均变化率为3t18，所以物体在t0处位移的瞬时变化率为 (3t18)18，即物体的初速度v018 m/s.(3)物体在t1时的瞬时速度即为物体在t1处位移的瞬时变化率，因为物体在t1附近位移的平均变化率为3t12，所以物体在t1处位移的瞬时变化率为 (3t12)12，即物体在t1时的瞬时速度为12 m/s.
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