资源描述
中档题专练(四)1.如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,且ABEF,矩形ABCD所在平面与圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.(1)设FC的中点为M,求证:OM平面DAF;(2)求证:AF平面CBF.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cosB=45.(1)若c=2a,求sinBsinC的值;(2)若C-B=4,求sinA的值.3.如图,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴为AB,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆E上一点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2,且椭圆E的离心率e=32.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设P是椭圆E上异于A、B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点M,N为MB的中点.若点F1为椭圆的左焦点,点F2为椭圆的右焦点,F1关于直线PN的对称点为Q,当点P的坐标为455,55时,求证:点P,Q,F2三点共线;试判断直线PN与椭圆E的位置关系,并证明你的结论.答案精解精析1.证明(1)设DF的中点为N,连接MN,AN,则MN12CD,MN=12CD,又AO12CD,AO=12CD,MNAO,MN=AO,四边形MNAO为平行四边形,OMAN,又AN平面DAF,OM面DAF,OM平面DAF.(2)平面ABCD平面ABEF,CBAB,CB平面ABCD,平面ABCD平面ABEF=AB,CB平面ABEF,AF平面ABEF,AFCB.AB为圆O的直径,AFBF.CBBF=B,CB,BF平面CBF,AF平面CBF.2.解析(1)解法一:在ABC中,因为cosB=45,所以a2+c2-b22ac=45.因为c=2a,所以c22+c2-b22cc2=45,即b2c2=920,所以bc=3510.又由正弦定理得sinBsinC=bc,所以sinBsinC=3510.解法二:因为cosB=45,B(0,),所以sinB=1-cos2B=35.因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,所以sinC=2sin(B+C)=65cosC+85sinC,即-sinC=2cosC.又因为sin2C+cos2C=1,sinC0,解得sinC=255,所以sinBsinC=3510.(2)因为cosB=45,所以cos2B=2cos2B-1=725.又0B,所以sinB=1-cos2B=35,所以sin2B=2sinBcosB=23545=2425.因为C-B=4,即C=B+4,所以A=-(B+C)=34-2B,所以sinA=sin34-2B=sin34cos2B-cos34sin2B=22725-222425=31250.3.解析(1)依题设条件可得:ab=2,ca=32.又a2-c2=b2,解得a2=4,b2=1,所以椭圆E的标准方程为x24+y2=1.(2)证明:直线AP的方程为y=14+25(x+2),求得点M的坐标为2,22+5,点N的坐标为2,12+5,直线PN的斜率k=-1,直线PN的方程为y=-x+5,设左焦点F1(-3,0)关于直线PN的对称点为Q(x1,y1),则y1x1+3=1,y12=-x1-32+5,解得x1=5,y1=5+3,即Q(5,5+3),所以直线PQ的斜率k1=4+15,又直线PF2的斜率k2=55455-3=14-15=4+15,所以k1=k2,即点P,Q,F2三点共线.直线PN与椭圆E相切于点P.证明如下:设P(x0,y0),又A(-2,0),所以直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2),令x=2,得y=4y0x0+2,即M2,4y0x0+2.又B(2,0),N为MB的中点,所以N2,2y0x0+2,于是直线PN的方程为y-y0=2y0x0+2-y02-x0(x-x0),即y=x0y0x02-4(x-x0)+y0.因为x024+y02=1,所以x02-4=-4y02,所以y=x0y0-4y02(x-x0)+y0,整理得y=4-x0x4y0.由x24+y2=1,y=4-x0x4y0消去y并整理得(x02+4y02)x2-8x0x+16-16y02=0,即x2-2x0x+x02=0,此方程的根的判别式=(-2x0)2-4x02=0,所以直线PN与椭圆E相切于点P.
展开阅读全文