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8.5直线、平面垂直的判定和性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度直线、平面垂直的判定与性质1.理解空间直线、平面垂直的定义2.理解空间中的直线、平面垂直的有关性质和判定,并会证明3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2017课标全国,10;2017课标全国,18;2017课标全国,19;2016课标全国,18;2015课标,18选择题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见几何体为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中的线和平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间的相互转化.分值约为6分,属中档题.(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.五年高考考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2017课标全国,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC答案C2.(2014浙江,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m答案C3.(2017课标全国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.解析(1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC为直角三角形,所以EO=12AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=12BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.4.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.5.(2016课标全国,18,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.解析(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.(2分)又PDDE=D,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(4分)(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC,又PAPC=P,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.(7分)连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF的体积V=1312222=43.(12分)6.(2016北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC平面ABCD,所以PCDC.(2分)又因为DCAC,ACPC=C,所以DC平面PAC.(4分)(2)证明:因为ABDC,DCAC,所以ABAC.(6分)因为PC平面ABCD,所以PCAB.(7分)又ACPC=C,所以AB平面PAC.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.证明如下:(10分)取PB的中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.(13分)又因为PA平面CEF,所以PA平面CEF.(14分)7.(2015课标,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=x2.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=1312ACGDBE=624x3=63.故x=2.从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.教师用书专用(819)8.(2013北京,8,5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()A.3个B.4个C.5个D.6个答案B9.(2017山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.10.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.11.(2015重庆,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=2,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,从而PEAB.因ABC=2,EFBC,故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)设BC=x,则在直角ABC中,AB=AC2-BC2=36-x2,从而SABC=12ABBC=12x36-x2.由EFBC知,AFAB=AEAC=23,得AFEABC,故SAFESABC=232=49,即SAFE=49SABC.由AD=12AE,SAFD=12SAFE=1249SABC=29SABC=19x36-x2,从而四边形DFBC的面积为SDFBC=SABC-SAFD=12x36-x2-19x36-x2=718x36-x2.由(1)知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.体积VP-DFBC=13SDFBCPE=13718x36-x223=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x0,可得x=3或x=33,所以,BC=3或BC=33.12.(2015湖北,20,13分)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求V1V2的值.解析(1)因为PD底面ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.又DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形.即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.(2)易知PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=13SABCDPD=13BCCDPD;由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BCCE,所以V2=13SBCEDE=16BCCEDE.在RtPDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=22CD,于是V1V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.13.(2014湖北,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1平面EFPQ;(2)直线AC1平面PQMN.证明(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)连接AC,BD,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.14.(2014重庆,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD=3,M为BC上一点,且BM=12.(1)证明:BC平面POM;(2)若MPAP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析(1)证明:如图,连接OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AOOB.因为BAD=3,所以OB=ABsinOAB=2sin6=1,又因为BM=12,且OBM=3,所以在OBM中,OM2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM=12+122-2112cos3=34.所以OB2=OM2+BM2,故OMBM.又PO底面ABCD,所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC平面POM.(2)由(1)可得,OA=ABcosOAB=2cos6=3.设PO=a,由PO底面ABCD知,POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+34.连接AM,在ABM中,AM2=AB2+BM2-2ABBMcosABM=22+122-2212cos23=214.由于MPAP,故APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+34=214,得a=32或a=-32(舍去),即PO=32.此时S四边形ABMO=SAOB+SOMB=12AOOB+12BMOM=1231+121232=538.所以VP-ABMO=13S四边形ABMOPO=1353832=516.15.(2014课标,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.解析(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)作ODBC,垂足为D,连接AD.作OHAD,垂足为H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形,又BC=1,所以OD=34.由于ACAB1,所以OA=12B1C=12.由OHAD=ODOA,且AD=OD2+OA2=74,得OH=2114.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为217.故三棱柱ABC-A1B1C1的高为217.16.(2013辽宁,18,12分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为AOC的重心,求证:QG平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径,得ACBC.由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.(6分)(2)连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QMPC.由O为AB中点,得OMBC.因为QMMO=M,QM平面QMO,MO平面QMO,BCPC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO,所以QG平面PBC.(12分)17.(2013四川,19,12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AB=AC=2AA1=2,BAC=120,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面ADD1A1;(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积.（锥体体积公式:V=13Sh,其中S为底面面积,h为高）解析(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线lBC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,所以l平面A1BC.因为AB=AC,D是BC的中点,所以BCAD,则直线lAD.因为AA1平面ABC,所以AA1直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l平面ADD1A1.(7分)(2)过D作DEAC于E.因为AA1平面ABC,所以DEAA1.又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,所以DE平面AA1C1C.由AB=AC=2,BAC=120,有AD=1,DAC=60,所以在ACD中,DE=32AD=32,又SA1QC1=12A1C1AA1=1,所以VA1-QC1D=VD-A1QC1=13DESA1QC1=13321=36.因此三棱锥A1-QC1D的体积是36.(12分)18.(2013山东,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.证明(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EHAB,EH=12AB.又ABCD,CD=12AB,所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,因此,CE平面PAD.证法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=12AB.又CD=12AB,所以AF=CD.又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又CF平面PAD,所以CF平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又EF平面PAD,所以EF平面PAD.因为CFEF=F,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.19.(2013江西,19,12分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB=2,AD=2,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.解析(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=2,EF=AB-DE=1,FC=2.在RtBEF中,BE=3.在RtCFB中,BC=6.在BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1,所以BE平面BB1C1C.(2)三棱锥E-A1B1C1的体积V=13AA1SA1B1C1=2.在RtA1D1C1中,A1C1=A1D12+D1C12=32.同理,EC1=EC2+CC12=32,A1E=A1A2+AD2+DE2=23.故SA1C1E=35.设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1-A1C1E的体积V=13dSA1C1E=5d,从而5d=2,d=105.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2018广东七校联考,4)设、为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m的一个充分条件为()A.,=l,mlB.=m,C.,mD.n,n,m答案D2.(2017广东广州一模,4)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若m,mn,n,则C.若mn,m,n,则D.若,m,n,则mn答案B3.(2017河北唐山一模,8)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()A.AG平面EFHB.AH平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF答案B4.(2018福建福安一中期中联考,20)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD平面ABEF,AFBE,ABBE,BE=2,AF=1.(1)求证:AC平面BDE;(2)求三棱锥C-DEF的体积.解析(1)证明:平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,BE平面ABEF,且ABBE,BE平面ABCD.又AC平面ABCD,BEAC.四边形ABCD为正方形,ACBD.BD,BE平面BDE,BDBE=B,AC平面BDE.(2)取DE的中点G,记ACBD=O,连接OG,FG,四边形ABCD为正方形,O是BD的中点,所以OGBE,OG=12BE,又AFBE,AF=12BE,AFOG,AF=OG,四边形AOGF是平行四边形,OAFG.OA平面DEF,FG平面DEF,OA平面DEF.点C到平面DEF的距离等于点A到平面DEF的距离,VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF=13SAEFAD=23,三棱锥C-DEF的体积为23.5.(2018河南洛阳期中,21)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是直角梯形,ADC=90,ADP是边长为2的等边三角形,Q是AD的中点,M是棱PC的中点,BC=1,CD=3,PB=6.(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)求三棱锥B-PQM的体积.解析(1)证明:底面四边形ABCD是直角梯形,Q是AD的中点,BC=1,AD=2,BC=QD=1,ADBC,四边形BCDQ为平行四边形,CDBQ,CD=BQ.ADC=90,QBAD.又PA=PD=2,AD=2,Q是AD的中点,故PQ=3,又QB=CD=3,PB=6,PB2=PQ2+QB2,由勾股定理的逆定理可知PQQB,又PQAD=Q,BQ平面PAD,又BQ平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)连接CQ,PA=PD,Q是AD的中点,PQAD.平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,PQ平面PAD,PQ平面ABCD.又M是棱PC的中点,故VB-PQM=VP-BQC-VM-BQC=VP-BQC-12VP-BQC=12VP-BQC,而PQ=3,SBQC=1213=32,VP-BQC=13SBQCPQ=13323=12,VB-PQM=1212=14.6.(2017广东广州12月联考,19)在三棱锥P-ABC中,PAB是等边三角形,APC=BPC=60.(1)求证:ABPC;(2)若PB=4,BEPC,求三棱锥B-PAE的体积.解析(1)证明:因为PAB是等边三角形,APC=BPC=60,PC=PC,所以PACPBC,所以AC=BC,如图,取AB的中点D,连接PD,CD,则PDAB,CDAB,因为PDCD=D,所以AB平面PDC,因为PC平面PDC,所以ABPC.(2)由(1)知PBCPAC,又BEPC,所以AEPC,AE=BE.在RtPEB中,BE=4sin 60=23,PE=4cos 60=2.因为BEPC,AEPC,BEAE=E,所以PC平面ABE.因为AB=4,AE=BE=23,所以AEB的面积S=12ABBE2-12AB2=42.因为三棱锥B-PAE的体积等于三棱锥P-ABE的体积,所以三棱锥B-PAE的体积V=13SPE=13422=823.B组20162018年模拟提升题组(满分:70分时间:60分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018黑龙江哈六中模拟,8)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合为P点,点P在AEF内的射影为O,则下列说法正确的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的内心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心答案A2.(2018江西南昌调研,10)如图,四棱锥P-ABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,ACBD,则下列结论不一定成立的是()A.PBACB.PD平面ABCDC.ACPDD.平面PBD平面ABCD答案B3.(2017江西南昌摸底考试,3)如图,在四面体ABCD中,已知ABAC,BDAC,那么点D在平面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部答案A4.(2017湖北武汉月考,9)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,将ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,有n对平面相互垂直,则n等于()A.2B.3C.4D.5答案B二、填空题(共5分)5.(2017豫西五校联考,14)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ABC=90,AC=2a,BB1=3a,D是棱A1C1的中点,点F在AA1(不包括端点)上,当AF=时,CF平面B1DF.答案a或2a三、解答题(每小题15分,共45分)6.(2018湖北八校模拟,18)如图,直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=5,AA=AB=6,D,E分别为AB和BB上的点,且ADDB=BEEB.(1)当D为AB的中点时,求证:ABCE;(2)当D在AB上运动时,求三棱锥A-CDE体积的最小值.解析(1)证明:D为AB的中点,ADDB=BEEB,故E为BB的中点,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,平行四边形ABBA为正方形,DEAB,AC=BC,D为AB的中点,CDAB,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,CD平面ABBA,又AB平面ABBA,CDAB,又CDDE=D,AB平面CDE,CE平面CDE,ABCE.(2)设BE=x(0x6),则AD=x,DB=6-x,BE=6-x,由已知可得C到平面ADE的距离即为ABC的边AB上的高,设为h,则h=AC2-AB22=4,VA-CDE=VC-ADE=13(S正方形ABBA-SAAD-SDBE-SABE)h=1336-3x-12(6-x)x-3(6-x)h=23(x2-6x+36)=23(x-3)2+27(0x0.(1)求证:平面SAB平面MAC;(2)试确定m的值,使三棱锥S-ABC的体积为三棱锥S-MAC的体积的3倍.解析(1)证明:在ABC中,AB=2,AC=4,BC=25,AB2+AC2=BC2,故ABAC.又平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCD=AB,AC平面ABCD,AC平面SAB,又AC平面MAC,故平面SAB平面MAC.(2)VS-MAC=VM-SAC=mm+1VD-SAC=mm+1VS-ADC,VS-ABCVS-AMC=m+1mVS-ABCVS-ACD=m+1mSABCSACD=m+1m2=3m=2.C组20162018年模拟方法题组方法1判定或证明线面垂直的方法1.(2018河南、河北两省联考,20)如图,在梯形ABCD中,ABAD,ABCD,CD=2AD=2,DE平面ABCD,DEBF,BDCF,AFCE.(1)求证:CEDF;(2)求证:BD平面BCF;(3)求AB的长.解析(1)证明:因为ABAD,ABCD,所以CDAD.因为DE平面ABCD,所以DEAD.又因为CDDE=D,所以AD平面CDE.所以ADCE.又因为AFCE,ADAF=A,所以CE平面ADF.所以CEDF.(2)证明:因为DE平面ABCD,DEBF,所以BF平面ABCD.所以BFBD.因为BDCF,且BFCF=F,所以BD平面BCF.(3)作BBCD,垂足为B,由(2)得,BD平面BCF,所以BDBC.由作图知四边形ABBD为矩形.设AB=DB=x,则CB=2-x.易证CBBBBD,所以CBBB=BBBD.易知BB=AD=1,所以2-x1=1x,解得x=1,即AB=1.2.(2017广东七校第二次联考,19)如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,ABC=60,PA=AC=1,PB=PD=2,点E在PD上,且PEED=2.(1)求证:PA平面ABCD;(2)在棱PC上是否存在点F,使得BF平面EAC?若存在,指出F的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:在菱形ABCD中,ABC=60,AC=AB=BC=1,PA=AC=1,PA=AB=AD=1,PB=PD=2,PA2+AB2=PB2,PA2+AD2=PD2,PAAB,PAAD.ABAD=A,PA平面ABCD.(2)存在.取PE的中点M,PC的中点F,连接BD交AC于O,连接OE,BM,BF,MF,四边形ABCD是菱形,O是BD的中点,PEED=2,E是PD的靠近点D的三等分点,又M是PE的中点,E是MD的中点,OE是BDM的中位线,BMOE,BM平面AEC,OE平面AEC,BM平面AEC,同理,MF平面AEC,又BMMF=M,BM,MF平面BMF,平面AEC平面BMF,BF平面BMF,BF平面AEC,在棱PC上存在点F,使得BF平面AEC,此时点F是PC的中点.方法2判定或证明面面垂直的方法3.(2018江西南昌二中月考,20)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且DAB=60,PA=PD,M为CD的中点,BDPM.(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)若APD=90,四棱锥P-ABCD的体积为233,求三棱锥A-PBM的高.解析(1)证明:取AD的中点E,连接PE,EM,AC.PA=PD,PEAD.四边形ABCD为菱形,BDAC,又M为CD的中点,EMAC,EMBD.又BDPM,EMPM=M,BD平面PEM,则BDPE,BDAD=D,PE平面ABCD.又PE平面PAD,平面PAD平面ABCD.(2)连接BE,设PA=PD=a,由APD=90,可得AD=2a,PE=22a,S菱形ABCD=34(2a)22=3a2.由(1)可知PE平面ABCD,则VP-ABCD=13PES菱形ABCD=1322a3a2=66a3=233,a3=22,则PA=PD=2,AD=2.易知PE=1,BE=EM=BM=3,PB=PM=2.SPBM=394,SABM=3.设三棱锥A-PBM的高为h,则由VA-PBM=VP-ABM可得13hSPBM=13PESABM,即h=3394=41313.三棱锥A-PBM的高为41313.4.(2017河北唐山一模,19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面ABC,ACB=90,AC=CB=CC1=2,M是AB的中点.(1)求证:平面A1CM平面ABB1A1;(2)求点M到平面A1CB1的距离.解析(1)证明:由A1A平面ABC,CM平面ABC,得A1ACM.由AC=CB,M是AB的中点,得ABCM.又A1AAB=A,所以CM平面ABB1A1,又CM平面A1CM,所以平面A1CM平面ABB1A1.(2)设点M到平面A1CB1的距离为h.连接MB1.由题意可知A1C=CB1=A1B1=2MC=22,A1M=B1M=6,则SA1CB1=23,SA1MB1=22.由(1)可知CM平面ABB1A1,则CM是三棱锥C-A1MB1的高,由VC-A1MB1=13MCSA1MB1=VM-A1CB1=13hSA1CB1,得h=22223=233,即点M到平面A1CB1的距离为233.方法3翻折问题的处理方法5.(2018辽宁六校协作体调研,19)已知等腰梯形ABCE中,ABEC,AB=BC=12EC=4,ABC=120,D是EC的中点,将ADE沿AD折起,构成四棱锥P-ABCD,M,N分别是BC,PC的中点.(1)求证:AD平面DMN;(2)当平面PAD平面ABCD时,求点C到平面PAB的距离.解析(1)证明:取AD的中点O,连接PO,OB,BD,易知PAD,ABD都是等边三角形,POAD,BOAD,POBO=O,AD平面POB.M,N分别为BC,PC的中点,MNPB,易知ADBC,又O,M分别为AD,BC的中点,ODBM,四边形OBMD是平行四边形.DMOB.MNDM=M,PBOB=B,平面DMN平面POB,AD平面DMN.(2)连接AC.设点C到平面PAB的距离为h,平面PAD平面ABCD,POAD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,PO平面ABCD.VC-PAB=VP-ABC,易求PO=23,SABC=43,SPAB=215,h=SABCPOSPAB=4155.6.(2017河南安阳调研,20)如图所示,已知直角ABC,其中ABC=90,D,E分别是AB,AC边上的中点,现沿DE将ADE翻折,使得A与平面ABC外一点P重合,得到如图所示的几何体.(1)证明:平面PBD平面BCED;(2)记平面PDE与平面PBC的交线为l,探究:直线l与BC是否平行.若平行,请给出证明;若不平行,请说明理由.解析(1)证明:D,E分别为边AB,AC的中点,DEBC,ABC=90,ABBC,BDDE,PDDE,PDBD=D,DE平面PBD,DE平面BCED,平面PBD平面BCED.(2)平行.DEBC,DE平面PDE,BC平面PDE,BC平面PDE,BC平面PBC,平面PDE平面PBC=l,lBC.7.(2017江西四校12月联考,19)在平面四边形ADBC(如图(1)中,ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,BAD=30,BAC=45,将ABC沿AB折起,构成如图(2)所示的三棱锥C-ABD.(1)当CD=2时,求证:平面CAB平面DAB;(2)当ACBD时,求三棱锥C-ABD的高.解析(1)证明:取AB的中点O,连接CO,DO,在RtACB,RtADB中,AB=2,则CO=DO=1,CD=2,CO2+DO2=CD2,COOD,又由已知得COAB,ABOD=O,AB,OD平面ABD,CO平面ABD,CO平面ABC,平面CAB平面DAB.(2)当ACBD时,由已知ACBC,得AC平面BDC,CD平面BDC,ACCD,ACD为直角三角形,由勾股定理,得CD=AD2-AC2=3-2=1,在BDC中,易知BD=1,BC=2,CD2+BD2=BC2,BDC为直角三角形,SBDC=1211=12.三棱锥C-ABD的体积V=13SBDCAC=13122=26.SABD=1213=32,设三棱锥C-ABD的高为h,则由13h32=26,解得h=63.即三棱锥C-ABD的高为63.
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