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5.2平面向量数量积与应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.理解数量积的性质并能运用2014天津,8基底法线性表示向量向量的共线表示2.平面向量数量积的应用1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题2015天津,14向量方法解决平面几何问题基本不等式分析解读在天津高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积;遇到模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决,主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.破考点【考点集训】考点一平面向量的数量积1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),AOB=120,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则CMCN的取值范围是()A.-34,0B.-1,1)C.-12,1D.-1,0)答案A2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DECB的值为;DEDC的最大值为.答案1;1考点二平面向量数量积的应用3.已知向量|AB|=2,|CD|=1,且|AB-2CD|=23,则向量AB和CD的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案C4.已知向量a=(cos,sin),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是()A.4,0B.42,4C.42,0D.16,0答案A5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,23),若a(2a+b),则a,b的夹角为.答案23炼技法【方法集训】方法1求平面向量的模的方法1.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PAPB=-12,若|BC|=1,则|AC|的最大值为()A.2-1B.3-1C.2+1D.3+1答案D2.在ABC中,BAC=60,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且ABCD=5,则|BD|等于()A.6B.4C.2D.1答案C3.已知向量a与向量b的夹角为23,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(xR且x0,yR),则xc的最大值为()A.33B.3C.13D.3答案A方法2求平面向量的夹角的方法4.ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则向量a,b的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案C5.若e1,e2是平面内夹角为60的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为()A.30B.60C.90D.120答案D6.已知|a|=10,ab=-5302,且(a-b)(a+b)=-15,则向量a与b的夹角为()A.23B.34C.56D.3答案C方法3用向量法解决平面几何问题的方法7.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案B8.已知向量OA,OB的夹角为60,|OA|=|OB|=2,若OC=2OA+OB,则ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案C过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组考点一平面向量的数量积1.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.118答案B2.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若AEAF=1,CECF=-23,则+=()A.12B.23C.56D.712答案C考点二平面向量数量积的应用(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=BC,DF=19DC,则AEAF的最小值为.答案2918B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的数量积1.(2018课标,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B2.(2014课标,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=()A.1B.2C.3D.5答案A3.(2017课标,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案234.(2016课标,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-25.(2015湖北,11,5分)已知向量OAAB,|OA|=3,则OAOB=.答案9考点二平面向量数量积的应用1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-3答案A2.(2017课标,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案B3.(2016课标,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-94答案B5.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos=13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为,则cos=.答案223C组教师专用题组1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则ADAC=()A.5B.4C.3D.2答案A2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于()A.-32B.-53C.53D.32答案A3.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是()A.4,6B.19-1,19+1C.23,27D.7-1,7+1答案D4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AEBF的最小值为.答案-35.(2015安徽文,15,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)a为单位向量;b为单位向量;ab;bBC;(4a+b)BC.答案6.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2,则ABAD的值是.答案227.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60,且a=(-2,-6),|b|=10,则ab=.答案108.(2013课标,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t=.答案29.(2013课标,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=.答案2解析解法一:AEBD=AD+12AB(AD-AB)=AD2-12AB2=22-1222=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则AE=(1,2),BD=(-2,2),则AEBD=(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2018天津芦台一中模拟,7)在直角梯形ABCD中,ABCD,ABAD,AB=2,CD=1,P为线段BC上的一点,设BP=23BC,若PAPD=89,则|AD|=()A.2B.3C.2D.1答案A2.(2018天津南开二模,8)设ABC是边长为1的正三角形,M是ABC所在平面上的一点,且MA+2MB+MC=CA,则当MAMC取得最小值时,的值为()A.13B.12C.2D.3答案A3.(2019届天津新华中学期中,5)若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.4B.2C.34D.答案A4.(2017天津南开一模,7)在ABC中,AB=AC=1,AM=MB,BN=NC,CMAN=-14,则ABC=()A.512B.3C.4D.6答案C5.(2017天津五校联考一模,7)在ABC中,AC=2AB=2,BAC=120,O是BC的中点,M是AO上的一点,且AO=3MO,则MBMC的值是()A.-53B.-76C.-73D.-56答案A6.(2019届天津南开中学第二次月考,7)在ABC中,ABAC=4,|BC|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则AMAN的值是()A.5B.214C.6D.8答案C7.(2017天津和平一模,7)如图,在平行四边形ABCD中,BAD=3,AB=2,AD=1.若M、N分别是边AD、CD上的点,且满足MDAD=NCDC=,其中0,1,则ANBM的取值范围是()A.-3,1B.-3,-1C.-1,1D.1,3答案B8.(2018天津部分区县一模,7)已知点G是ABC内的一点,且满足GA+GB+GC=0,若BAC=3,ABAC=1,则|AG|的最小值是()A.33B.32C.63D.62答案C二、填空题(每小题5分,共45分)9.(2018天津南开中学第三次月考,12)已知向量a与b的夹角为60,若a=(0,2),|b|=1,则|a+2b|=.答案2310.(2017天津南开三模,11)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(a+b)a,则向量a,b的夹角为.答案5611.(2017天津河西三模,12)已知等边ABC的边长为23,平面内一点M满足CM=16CB+23CA,则MAMB=.答案-212.(2017天津八校联考,13)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若ABAF=2,则AEBF的值是.答案213.(2018天津红桥二模,12)如图,在ABC中,ADAB,BC=3BD,|AD|=1,则ACAD=.答案314.(2019届天津耀华中学第二次月考,13)已知向量AB、AC、AD满足AC=AB+AD,|AB|=2,|AD|=1,E、F分别是线段BC、CD的中点,若DEBF=-54,则向量AB与AD的夹角为.答案315.(2018天津南开一模,13)在四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,ABAD,则CBCD的最小值为.答案2-2216.(2018天津十二区县一模,13)在等腰梯形中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60,若BC=3CE,AF=AB(R),且AEDF=-1,则=.答案1417.(2018天津北辰模拟,14)在梯形ABCD中,BCAD,BAD=60,CDA=30,AB=2,AD=6,CD=23,在边BC,DC上分别有动点E,F,使|BE|BC|=,|DF|DC|=,+=1,则AEAF的最小值为.答案6
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