（江苏专用）2019高考数学二轮复习 第三篇 第31练 几何证明选讲、不等式选讲试题 理.docx

第31练几何证明选讲、不等式选讲明晰考情1.命题角度：三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理；圆内接四边形的性质与判定；含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用.2.题目难度：中档难度.考点一三角形相似的判定及应用方法技巧证明三角形相似可以结合圆的某些性质、定理，要注意等量的代换.1.(2016江苏)如图，在ABC中，已知ABC90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点，求证：EDCABD.证明在ADB和ABC中，因为ABC90，BDAC，A为公共角，所以ADBABC，所以ABDC.在RtBDC中，因为E是斜边BC的中点，所以EDEC，从而EDCC，所以EDCABD.2.(2017江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，APPC，P为垂足.(1)求证：PACCAB；(2)求证：AC2APAB.证明(1)因为PC切半圆O于点C，所以PCACBA.因为AB为半圆O的直径，所以ACB90.因为APPC，所以APC90，因此PACCAB.(2)由(1)知，APCACB，故，即AC2APAB.3.(2018苏州模拟)如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PDAB于点D，PEAC于点E，PFBC于点F.求证：PF2PDPE.证明连结PB，PC，因为PCF，PBD分别为圆弧BP上的圆周角和弦切角，所以PCFPBD.因为PDBD，PFFC，所以PDBPFC，故.同理，PBFPCE，又PEEC，PFFB，所以PFBPEC，故，所以，即PF2PDPE.4.如图，AB，AC是O的切线，ADE是O的割线，求证：BECDBDCE.证明因为AB是O的切线，所以ABDAEB.又因为BADEAB，所以BADEAB，所以.同理，.因为AB，AC是O的切线，所以ABAC.因此，即BECDBDCE.考点二圆有关定理、性质的应用方法技巧和圆有关的计算证明问题，要灵活运用圆和三角形的性质，以目标为导向，根据需要找角、线段长度的关系，适时进行等量代换.5.(2018江苏)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC2，求BC的长.证明如图，连结OC.因为PC与圆O相切，所以OCPC.又因为PC2，OC2，所以OP4.又因为OB2，从而B为RtOCP斜边的中点，所以BC2.6.(2018南京模拟)如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DADC，求证：CA3CB.证明如图，连结OD，因为DADC，所以DAOC.在圆O中，AODO，所以DAOADO，所以DOC2DAO2C.因为CD为圆O的切线，所以ODC90，从而DOCC90，即2CC90，故C30，所以OC2OD2OB，所以CBOB，所以CA3CB.7.(2018苏州模拟)如图，圆O的直径AB4，C为圆周上一点，BC2，过C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l和圆O交于点D，E，求线段AE的长.解在RtABC中，因为AB4，BC2，所以ABC60.因为l为过点C的切线，所以DCAABC60.因为ADDC，所以DAC30.连结OE，在AOE中，因为EAODACCAB60，且OEOA，所以AEAOAB2.8.如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径.(1)证明因为DE为O的直径，所以BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED.又AB切O于点B，所以DBABED，所以CBDDBA，(2)解由(1)知BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3.所以AC4，所以AD3.由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.考点三不等式的证明方法技巧证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明.9.已知m，n是正数，证明：m2n2.证明m2n2，又m，n均为正数，m2n20，m2n2.10.设a，b，c均为正数，abc1.求证：.证明由a，b，c为正数，根据算术几何平均不等式，得， .将此三式相加，得2，即.由abc1，则有1.所以，当且仅当abc1时等号成立.11.已知a，b，c均为正数，且abc1.求证：8.证明要证8成立，只需证8成立.abc1，只需证8成立，即8，又a，b，c0，只需证8成立，而8显然成立，8成立.12.已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcca.证明a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.将以上三个不等式相加，得2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.在不等式的左右两端同时加上a2b2c2，得3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在不等式的左右两端同时加上2(abbcca)，得(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由得a2b2c2(abc)2abbcca.考点四柯西不等式方法技巧利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构.13.(2017江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.14.(2018盐城模拟)已知正数x，y，z满足x2y3z2，求x2y2z2的最小值.解由柯西不等式，可得(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2，因为x2y3z2，所以x2y2z2，当且仅当x，y，z时等号成立，所以x2y2z2的最小值为.15.已知实数a，b，c满足a2bc1，a2b2c21，求证：c1.证明因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式知(1222)(a2b2)(a2b)2，当且仅当，即b2a时等号成立.即5(1c2)(1c)2，整理得3c2c20，解得c1.所以c1.16.(2018苏州模拟)已知a，b，cR，a2b2c21，若|x1|x1|(abc)2对一切实数a，b，c成立，求实数x的取值范围.解因为a，b，cR，a2b2c21，由柯西不等式得(abc)2(a2b2c2)(111)3，当且仅当时等号成立.因为|x1|x1|(abc)2对一切实数a，b，c恒成立，所以|x1|x1|3.当x1时，2x3，解得x.综上，实数x的取值范围为.1.如图，AB是O的直径，C是O外一点，且ACAB，BC交O于点D.已知BC4，AD6，AC交O于点E，求四边形ABDE的周长.解AB是O的直径，ADBC，又ABAC，D为BC的中点，BC4，AD6，ABAC2，cos C，由ACCECDCB，得CE，AE，DE2CE2CD22CECDcos C4，DE2.四边形ABDE的周长l4.2.(2018南京、盐城模拟)如图，已知AB为O的直径，直线DE与O相切于点E，AD垂直DE于点D，若DE4，求切点E到直径AB的距离.解如图，过点E作EFAB交AB于点F，连结AE，OE，因为直线DE与O相切于点E，所以DEOE，因为ADDE交DE于点D，所以ADOE，所以DAEOEA.在O中，OEOA，所以OEAOAE.由得DAEOAE，即DAEFAE，又ADEAFE，AEAE，所以ADEAFE，所以DEFE，又DE4，所以FE4，即点E到直径AB的距离为4.3.已知x，y，x均为正数，求证：.证明x，y，z都是正数，.同理可得，.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得(当且仅当xyz时，等号成立).4.(2108江苏七市联考)已知a，b，c是正实数，且abc5，求证：a22b2c210.证明由柯西不等式得a2(b)2c2(abc)2，因为abc5，所以(a22b2c2)25.所以a22b2c210，当且仅当a2bc0时取等号.