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高考达标检测（四十三） 圆锥曲线的综合问题定点、定值、探索性问题1.如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率是，其中一个顶点为B(0,1)(1)求椭圆C的方程；(2)设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BPBQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由. 解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得b1，且e2 ，解得a24，所以椭圆C的方程为y21.(2)直线PQ恒过定点法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程代入x24y24，消去y，整理得 (14k2)x28kmx4m240.则x1x2，x1x2. 因为BPBQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以1，整理得 x1x2y1y2(y1y2)10. 因为y1kx1m，y2kx2m，所以y1y2k(x1x2)2m，y1y2k2x1x2mk(x1x2)m2. 将代入，整理得(1k2)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20. 将代入，整理得5m22m30.解得m或m1(舍去)所以直线PQ恒过定点.法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为ykx1.将直线BP的方程代入x24y24，消去y，得 (14k2)x28kx0.解得x0或x.设P(x1，y1)，所以x1，y1kx11，所以P.以替换点P坐标中的k，可得Q.从而，直线PQ的方程是.依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上在上述方程中，令x0，解得y.所以直线PQ恒过定点.2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB. 求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值解：(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB得kOAkOB1，即1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，所以原点O到直线AB的距离为.综上，原点O到直线AB的距离为定值.3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2xy60相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由解：(1)由e，得，即ca， 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且该圆与直线2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由得(13k2)x212k2x12k260.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2()为定值，则(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式为定值，即与k无关，只需3m212m103(m26)，解得m，此时， 2m26，所以在x轴上存在定点E使得2为定值，且定值为.4已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；(3)过椭圆C1：1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2y2的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值解：(1)由题意得c1，所以a2b21， 又点P在椭圆C上，所以1， 由可解得a24，b23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因为16(12k23)0，所以k2，则x1x2，x1x2.因为AOB为锐角，所以0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，即(1k2)2k40，解得k2，所以k2，解得k或k.所以直线l的斜率k的取值范围为.(3)证明：由(1)知椭圆C1的方程为1，设P(x0，y0)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，因为M，N不在坐标轴上，所以kPM，直线PM的方程为yy3(xx3)，化简得x3xy3y， 同理可得直线PN的方程为x4xy4y. 把P点的坐标代入得所以直线MN的方程为x0xy0y.令y0，得m，令x0，得n，所以x0，y0，又点P在椭圆C1上，所以2324，即，为定值已知椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若0，|8.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过右焦点F2(，0) (不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P(x0,0)，使得的值为定值？若存在，写出P点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为1(ab0), 则c，|2|2(2c)220.又|8，(|)2|2|22|36，解得|6，即2a6，则a3，b2a2c24，椭圆的方程为1.(2)当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x)，代入椭圆方程并消元整理得，(9k24)x218k2x45k2360.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2， y1y2k2(x1)(x2)k2x1x2(x1x2)5，所以(x1x0，y1)(x2x0，y2)(x1x0)(x2x0)y1y2x1x2x0(x1x2)xy1y2.令t，则(9x18x029)k24x36t(49k2)，故9x18x0299t且4x364t，解得x0，此时的值为.当直线l与x轴垂直时，l的方程为x，代入椭圆方程解得A，B，所以，综上，在x轴上存在一个定点P，使得的值为定值.
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