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1.3 13.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性预习课本P2729，思考并完成以下问题(1)增函数、减函数的概念是什么？ (2)如何表示函数的单调区间？ (3)函数的单调性和单调区间有什么关系？ 1定义域为I的函数f(x)的增减性点睛定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间点睛一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数y在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y在(，0)(0，)上单调递减1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2在R上是增函数()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()答案：(1)(2)(3)2.函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4答案：C3下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是()Af(x)x2Bf(x)Cf(x)|x| Df(x)2x1答案：B4函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案：(，1函数单调性的判定与证明例1求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f (x1)f (x2)0，即f (x1)f (x2)函数f (x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f (x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数利用定义证明函数单调性的4个步骤活学活用1证明函数f(x)x在(0,1)上是减函数证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).0x1x21，x1x20,0x1x21，则1x1x20，即f(x1)f(x2)，求函数的单调区间f(x)x在(0,1)上是减函数.例2画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间解y即y函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为(1,0)，(1，)求函数单调区间的2种方法法一：定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解法二：图象法即先画出图象，根据图象求单调区间 活学活用2如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，则函数f(x)的单调递增区间是_解析：由图象知单调递增区间为1.5,3和5,6答案：1.5,3和5,63求函数f(x)的单调减区间解：函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，设x1，x2(，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，x110，x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，)上单调递减综上，函数f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，).函数单调性的应用题点一：利用单调性比较大小1若函数f(x)在区间(，)上是减函数，则下列关系式一定成立的是()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a2，所以f(a21)f(5x6)，求实数x的取值范围解：函数yf(x)是(，)上的增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，解得x3.x的取值范围为(，3)题点三：已知单调性求参数范围3已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，求实数a的取值范围解：设1x11.函数f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.x1x20，即ax1x2.1x11，x1x21，a1.a的取值范围是1，)函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的层级一学业水平达标1如图是函数yf(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A1B2C3 D4解析：选B由图象，可知函数yf(x)的单调递减区间有2个故选B.2下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x| By3xCy Dyx24解析：选A因为1 Da解析：选D函数f(x)(2a1)xb在R上是单调减函数，则2a10，即a”或“”或“”或“”)解析：f(x)在R上是减函数，对任意x1，x2，若x1f(x2)又1f(a21)答案：7已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为_解析：由题设得解得1x.答案：8如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x2(a1)x5的对称轴为x且在区间上是增函数，即a2.答案：(，29判断并证明函数f(x)1在(0，)上的单调性解：函数f(x)1在(0，)上是增函数证明如下：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且x10，又由x1x2，得x1x20，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)1在(0，)上是增函数10作出函数f(x)的图象，并指出函数f(x)的单调区间解：f(x)的图象如图所示由图可知，函数f(x)的单调减区间为(，1和(1,2)，单调增区间为2，)层级二应试能力达标1若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)(b，c)上()A必是增函数B必是减函数C是增函数或减函数 D无法确定单调性解析：选D函数在区间(a，b)(b，c)上无法确定单调性如y在(0，)上是增函数，在(，0)上也是增函数，但在(，0)(0，)上并不具有单调性2下列四个函数在(，0)上为增函数的是()y|x|1；y；y；yx.A BC D解析：选Cy|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；y1(x0)在(，0)上既不是增函数也不是减函数；yx(x0)在(，0)上是增函数；yxx1(x0)在(，0)上也是增函数3已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(0,2) D(0,2解析：选D依题意得实数a满足解得0a2.4定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2R(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)解析：选A对任意x1，x2R(x1x2)，有21，则f(3)f(2)f(1)故选A.5若函数y在(0，)上是减函数，则b的取值范围是_解析：设0x10.0x1x2，x1x20，b0.答案：(，0)6函数y(x3)|x|的单调递增区间是_解析：y(x3)|x|作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为.答案：7已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围解：由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性解：在定义域内任取x1，x2，且使x1b0，x1x2，ba0.只有当x1x2b或bx1x2时，函数才单调当x1x2b或bx1x2时，f(x2)f(x1)0.yf(x)在(，b)上是单调减函数，在(b，)上也是单调减函数yf(x)的单调减区间是(，b)和(b，)，无单调增区间第二课时函数的最大(小)值预习课本P3032，思考并完成以下问题(1)函数最大(小)值的定义是什么？ (2)从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？ 函数的最大(小)值最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)Mf(x)M存在x0I，使得f(x0)M结论称M是函数yf(x)的最大值称M是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标点睛最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数yx2(xR)的最小值是0，有f(0)0.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何函数都有最大值或最小值()(2)函数的最小值一定比最大值小()答案：(1)(2)2函数yf(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A1,0B0,2C1,2 D.，2答案：C3设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C既有最大值又有最小值D既无最大值又无最小值答案：D4函数f(x)，x2,4，则f(x)的最大值为_；最小值为_答案：1图象法求函数的最值 例1如图为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值解观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(1.5，2)，所以当x3时，函数yf(x)取得最大值，即ymax3；当x1.5时，函数yf(x)取得最小值，即ymin2.用图象法求最值的3个步骤活学活用1求函数f(x)的最值解：函数f(x)的图象如图所示利用单调性求函数的最值由图象可知f(x)的最小值为f(1)1，无最大值例2已知函数f(x)x.(1)证明：f(x)在(1，)内是增函数；(2)求f(x)在2,4上的最值解(1)证明：设对于任意x1，x2(1，)，且x1x11，x1x21，x1x210，故(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)内是增函数(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函数，当x2,4时，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2,4上的最大值为，最小值为.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数yf(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最大值f(b)(2)如果函数yf(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最小值f(b)(3)如果函数yf(x)在区间a，b上是增(减)函数，则在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值 活学活用2已知函数f(x)(x2,6)，求函数的最大值和最小值解：设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)是区间2,6上的减函数实际应用中的最值因此，函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x2时取得最大值，最大值是2，在x6时取得最小值，最小值是0.4.例3某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，f(x)max25 000.当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)max25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元解实际应用问题的5个步骤(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式(5)答：回归实际，明确答案，得出结论 活学活用3将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x50)元，销量减少10(x50)个，销量为50010(x50)(1 00010x)个，则y(x40)(1 00010x)10(x70)29 0009 000.故当x70时，ymax9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元.二次函数的最大值，最小值例4求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值解函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min一题多变1变设问在本例条件下，求f(x)的最大值解：函数图象的对称轴是xa，当a3时，f(x)maxf(4)188a，当a3时，f(x)maxf(2)64a.f(x)max2变设问在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值解：由本例解析知f(x)min当a2时，64a2，a1；当2a4时，2a22，a0(舍去)；当a4时，若188a4，a(舍去)a的值为1.3变条件，变设问本例条件变为，若f(x)x22ax2，当x2,4时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：在2,4内，f(x)a恒成立，即ax22ax2在2,4内恒成立，即af(x)max，x2,4由本例探究1知f(x)max(1)当a3时，a188a，解得a2，此时有2a3.(2)当a3时，a64a，解得a，此时有a3.综上有实数a的取值范围是2，)求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图(2)在图象上标出定义域的位置(3)观察单调性写出最值 层级一学业水平达标1.函数yf(x)(2x2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为()Af(2)，f(2)Bf，f(1)Cf，fDf，f(0)解析：选C根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x时，有最小值f；当x时，有最大值f.2函数yx22x2在区间2,3上的最大值、最小值分别是()A10,5B10,1C5,1 D以上都不对解析：选B因为yx22x2(x1)21，且x2,3，所以当x1时，ymin1，当x2时，ymax(21)2110.故选B.3函数y(x2)在区间0,5上的最大值、最小值分别是()A.，0 B.，0C.，D最小值为，无最大值解析：选C因为函数y在区间0,5上单调递减，所以当x0时，ymax，当x5时，ymin.故选C.4若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A2 B2C2或2 D0解析：选C由题意知a0，当a0时，有(2a1)(a1)2，解得a2；当a0时，有(a1)(2a1)2，解得a2.综上知a2.5当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析：选C令f(x)x22x，则f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.a0.6函数y，x3，1的最大值与最小值的差是_解析：易证函数y在3，1上为增函数，所以ymin，ymax1，所以ymaxymin1.答案：7已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为_解析：函数f(x)x24xa(x2)24a，x0,1，且函数有最小值2.故当x0时，函数有最小值，当x1时，函数有最大值当x0时，f(0)a2，f(x)x24x2，当x1时，f(x)maxf(1)124121.答案：18函数yf(x)的定义域为4,6，若函数f(x)在区间4，2上单调递减，在区间(2,6上单调递增，且f(4)f(6)，则函数f(x)的最小值是_，最大值是_解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)minf(2)，f(x)maxf(6)答案：f(2)f(6)9求函数f(x)在区间2,5上的最大值与最小值解：任取2x1x25，则f(x2)f(x1).因为2x1x25，所以x1x20，x110.所以f(x2)f(x1)0.所以f(x2)f(x1)所以f(x)在区间2,5上是单调减函数所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).10已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解：f(x)(xa)2a2a1，当a1时，f(x)maxf(1)a；当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1；当a0时，f(x)maxf(0)1a.根据已知条件得，或或解得a2或a1.层级二应试能力达标1下列函数在1,4上最大值为3的是()Ay2 By3x2Cyx2 Dy1x解析：选AB、C在1,4上均为增函数，A、D在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.2函数f(x)则f(x)的最大值与最小值分别为()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对解析：选Ax1,2时，f(x)max22610，f(x)min2168；x1,1时，f(x)max178，f(x)min176，f(x)max10，f(x)min6.3已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A1，) B0,2C(，2 D1,2解析：选Df(x)(x1)22，f(x)min2，f(x)max3，且f(1)2，f(0)f(2)3，1m2，故选D.4某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A90万元 B60万元C120万元 D120.25万元解析：选C设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，公司获利为Lx221x2(15x)x219x30230，当x9或10时，L最大为120万元5已知x24xa0在x0,1上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：法一：x24xa0，即ax24x，x0,1，也就是a应大于或等于f(x)x24x在0,1上的最大值，函数f(x)x24x在x0,1的最大值为0，a0.法二：设f(x)x24xa，由题意知解得a0.答案：0，)6已知函数f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_解析：如图可知f(x)在1，a内是单调递减的，又f(x)的单调递减区间为(，3，1a3.答案：(1,37某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式yf(x)(注明函数定义域)(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)axb，由表格得方程组解得所以yf(x)3x162.又y0，所以30x54，故所求函数关系式为y3x162，x30,54(2)由题意得，P(x30)y(x30)(1623x)3x2252x4 8603(x42)2432，x30,54当x42时，最大的日销售利润P432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润8已知f(x)3x212x5，当f(x)的定义域为0，a时，求函数f(x)的最大值和最小值解：由于f(x)的对称轴是x2，因此要确定f(x)在0，a上的单调性，就需要确定对称轴是否落在该区间上，这就需要对a进行讨论：(1)当02时，f(x)在0,2上单调递减，在2，a上单调递增，因此其最大值为f(0)和f(a)中的较大者，而f(a)f(0)3a212a.当24时，f(x)maxf(a)3a212a5，f(x)minf(2)7.13.2奇偶性预习课本P3336，思考并完成以下问题(1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？ (2)奇、偶函数的定义域有什么特点？ (3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？ 函数奇偶性的概念偶函数奇函数定义条件对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称点睛奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数的图象一定与y轴相交()(2)奇函数的图象一定通过原点()(3)函数f(x)x2，x1,2是偶函数()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()答案：(1)(2)(3)(4)2函数yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则a等于()A1B0C1 D无法确定答案：C3下列函数是偶函数的是()Ayx By2x23Cy Dyx2，x0,1答案：B4已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)4，则f(2)_.答案：4判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x) ；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下：判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步验证f(x)f(x)或f(x)f(x)下结论若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(2)图象法：若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 活学活用1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解：(1)xR，关于原点对称，又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)xR，关于原点对称，又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，又f(x)f(x)利用函数的奇偶性求参数f(x)为奇函数.例2(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_；(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.解析(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(2)由奇函数定义有f(x)f(x)0，得a(x)22(x)ax22x2ax20，故a0.答案(1)0(2)0利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解 活学活用2设函数f(x)为奇函数，则a_.解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即.显然x0，整理得x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.答案：1利用函数的奇偶性求解析式例3若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x3，求f(x)的解析式解当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3.即当x0时，f(x)x22x3.故f(x)一题多变1变设问本例条件不变，求f(2)的值解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2)f(2)(22223)3.2变条件若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x0时，f(x)的解析式解：当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3，即当xf(10)Bf(1)f(10)Cf(1)f(10) Df(1)和f(10)关系不定解析：选Af(x)是偶函数，f(10)f(10)又f(x)在0，)上单调递减，且1f(10)，即f(1)f(10)题点二：区间内的最值问题2若奇函数f(x)在区间2,5上的最小值是6，那么f(x)在区间5，2上有()A最小值6 B最小值6C最大值6 D最大值6解：选C因为奇函数f(x)在2,5上有最小值6，所以可设a2,5，有f(a)6.由奇函数的性质，f(x)在5，2上必有最大值，且最大值为f(a)f(a)6.题点三：解不等式问题3设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解析：因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上是减函数所以不等式f(1m)f(m)等价于解得1mf(x2)或f(x1)f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()Df(3)f()f(2)解析：选Af(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上单调递增，且23f(3)f(3)f(2)6设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x21，则f(2)f(0)_.解析：由题意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)5.答案：57已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_.解析：当x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.答案：x18已知yf(x)是奇函数，当xf(3)层级二应试能力达标1下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数为()AyByCyx2 Dyx解析：选A易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数yx2在(0，)上单调递增，所以选A.2若f(x)(xa)(x3)为R上的偶函数，则实数a的值为()A3B3C6D6解析：选B因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)，即(xa)(x3)(xa)(x3)，化简得(62a)x0.因为xR，所以62a0，即a3.3若函数f(x)(f(x)0)为奇函数，则必有()Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)解析：选Bf(x)为奇函数，f(x)f(x)，又f(x)0，f(x)f(x)f(x)20.4已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围为()A. B.C. D.解析：选A由于f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，则不等式f(2x1)f，即2x1，解得x.5.设奇函数f(x)的定义域为6,6，当x0,6时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)0的解集用区间表示为_解析：由f(x)在0,6上的图象知，满足f(x)0的不等式的解集为(0,3)又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在6,0)上，不等式f(x)0的解集为6，3)综上可知，不等式f(x)0的解集为6，3)(0,3)答案：6，3)(0,3)6若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_解析：f(x)是偶函数，f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，m0，即f(x)x22.f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0，)上单调递减，f(2)f(1)f(0)，即f(2)f(1)f(0)答案：f(2)f(1)f(0)7奇函数f(x)是定义在(1,1)上的减函数，若f(m1)f(32m)0，求实数m的取值范围解：原不等式化为f(m1)f(32m)因为f(x)是奇函数，所以f(m1)2m3，所以m2.又f(x)的定义域为(1,1)，所以1m11且132m1，所以0m2且1m2，所以1m2.综上得1m2.故实数m的取值范围是(1,2)
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