（浙江专用）2019高考数学二轮复习精准提分 第二篇 重点专题分层练中高档题得高分 第13练 数列的综合问题试题.docx

第13练数列的综合问题明晰考情1.命题角度：考查等差数列、等比数列的判定与证明；以an，Sn的关系为切入点，考查数列的通项、前n项和等；数列和不等式的综合应用.2.题目难度：中档难度或偏难考点一等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an1and，d为常数，则an为等差(比)数列(2)中项公式法(3)通项公式法1已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由(1)证明由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)解由题设知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得数列a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；数列a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列2已知数列an满足a12，且an12an2n1，nN*.(1)设bn，证明：bn为等差数列，并求数列bn的通项公式；(2)在(1)的条件下，求数列an的前n项和Sn.解(1)把an2nbn代入到an12an2n1，得2n1bn12n1bn2n1，两边同除以2n1，得bn1bn1，即bn1bn1，bn为等差数列，首项b11，公差为1，bnn(nN*)(2)由bnn，得ann2n，Sn121222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，两式相减，得Sn2122232nn2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12(nN*)3已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN*)(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出an的通项公式(1)解在Sn2an(1)n(nN*)中分别令n1,2,3，得解得(2)证明由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，两式相减，得an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2(n2)故数列是以a1为首项，2为公比的等比数列an(1)n2n1，an2n1(1)n(1)n(nN)*.考点二数列的通项与求和方法技巧(1)根据数列的递推关系求通项的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的数列，可用累加法；形如f(n)的数列，可用累乘法构造数列法形如an1，可转化为，构造等差数列；形如an1panq(pq0，且p1)，可转化为an1p构造等比数列.(2)数列求和的常用方法倒序相加法；分组求和法；错位相减法；裂项相消法4已知数列an的首项a11，前n项和为Sn(nN*)，且数列是公差为2的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知得1(n1)22n1，所以Sn2n2n.当n2时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413满足上式，所以an4n3，nN*.(2)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3)当n为偶数时，Tn(15)(913)(4n7)(4n3)42n；当n为奇数时，n1为偶数，TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.综上，Tn5已知数列an，bn满足a1，anbn1，bn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)设Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.解(1)bn1.a1，b1，因为bn111，所以1，所以数列是以4为首项，1为公差的等差数列，所以4(n1)n3，所以bn1(nN*)(2)因为an1bn，所以Sna1a2a2a3a3a4anan1(nN*)6已知数列an的前n项和为Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn，其中nN*，若数列cn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由a13S143a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，两式相减并化简得an1an，数列an是首项为1，公比为的等比数列，ann1，nN*，bnlog2an1log2n2n(nN*)(2)由题意知，cn.令Hn，则Hn，得，Hn1.Hn2.又Mn11，TnHnMn2(nN*)考点三数列与不等式方法技巧数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题，而数列的条件可能是等差数列、等比数列，甚至是一个递推公式等，求解方法既要用到不等式知识(如比较法、放缩法、基本不等式法等)，又要用到数列的基础知识7已知数列an的前n项和Sn满足Snan(1)n2(nN*)(1)证明an(1)n为等比数列，并求出an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，证明：Tn(nN*)(1)解由得an1an1an(1)n1(1)n，即an13an2(1)n12(1)n，3，an(1)n为等比数列对于Snan(1)n2，令n1，解得a12，an(1)n是首项为3，公比为3的等比数列，an(1)n3n，即an3n(1)n(nN*)(2)证明方法一当k为正偶数时，当n为奇数时，Tn，当n为偶数时，n1为奇数，TnTn1，Tn(nN*)方法二当n3时，Tn.8各项为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足：Snaan(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，证明：对一切正整数n，都有Tn.(1)解由Snaan，当n2时，Sn1aan1，由化简得(anan1)(anan12)0，又数列an的各项为正数，当n2时，anan12，故数列an成等差数列，公差为2，a1S1aa1，解得a11，an2n1(nN*)(2)证明Tn.当n1时，T11，当n2时，Tnan，nN*；(2)an1，nN*；(3)当n2时，an.证明(1)an1an，an11an1，(an11)(an1)(an1)210，故an11与an1同号又a1110，an10，an1an0，故an1an，nN*.(2)ak11ak1，kN*，(ak11)2(ak1)22(ak1)22，kN*，当n2时，(an1)2(an1)2(an11)2(an11)2(an21)2(a21)2(a11)2(a11)22(n1)12n1，又an10，故当n2时，an1.即当n2时，an1.又当n1时，a110，所以an1，nN*.(3)由(2)知ak1ak，kN*，所以当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(an1an2)(anan1)，即当n2时，an1.当n3时，所以当n3时，an11(1)()()，又a21，所以n2时，an.例(15分)已知在数列an中，a13，2an1a2an4.(1)证明：an1an；(2)证明：an2n1；(3)设数列的前n项和为Sn，求证：1nSn1.审题路线图(1)(2)(3)规范解答评分标准证明(1)2an12ana4an4(an2)20，2分an1an3，(an2)20，an1an.4分(2)2an14a2anan(an2)，6分，an2(an12)2(an22)n1(a12)n1，an2n1.9分(3)2(an12)an(an2)，10分，12分Sn1.13分an12n，0n，1nSn11.15分构建答题模板第一步辨特征：认真分析所给数列的递推式，找出其结构特征第二步巧放缩：结合要证结论，对递推式进行变换、放缩，利用作差、作商、数学归纳法、反证法等技巧逐步向欲证不等式靠近第三步得结论：消灭目标不等式和放缩到的不等式间的差别，得出结论1(2018浙江)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项数列bn满足b11，数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值；(2)求数列bn的通项公式解(1)由a42是a3，a5的等差中项，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520，得820，解得q2或q.因为q1，所以q2.(2)设cn(bn1bn)an，数列cn的前n项和为Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可得an2n1，所以bn1bn(4n1)n1，故bnbn1(4n5)n2，n2，bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)n2(4n9)n373.设Tn37112(4n5)n2，n2，则Tn372(4n9)n2(4n5)n1，n2，得Tn34424n2(4n5)n1，n2，因此Tn14(4n3)n2，n2.又b11，所以bn15(4n3)n2，n2，当n1时，b11也满足上式，所以bn15(4n3)n2.2设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解(1)由题意得得又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，又a23a1，数列an的通项公式为an3n1，nN*.(2)设bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，经验证T2符合上求Tn3已知数列an，bn满足a11，b12，an1，bn1.(1)求证：当n2时，an1anbnbn1；(2)设Sn为数列|anbn|的前n项和，求证：Sn.证明(1)当n2时，bnan0，故有bnan(n2且nN*)，所以anan1，bnbn1.综上，an1anbnbn1.(2)由(1)知，23()()，故|anbn|，故Sn1.4(2017浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)证明：当nN*时，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.证明(1)用数学归纳法证明xn0.当n1时，x110.假设nk(kN*)时，xk0，那么nk1时，若xk10，则0xkxk1ln(1xk1)0，与假设矛盾，故xk10，因此xn0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1，因此0xn1xn(nN*)(2)由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1)记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)f(x)ln0(x0)，函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*)(3)因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn.由2xn1xn得20，所以22n12n2，故xn.综上，xn(nN*)