资源描述
23.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质读教材填要点抛物线的几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py (p0)图象性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下小问题大思维1抛物线y22px(p0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即x轴，不是中心对称图形2抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|_|PF|_|PF|_|PF|_焦点弦|AB|AB|_|AB|_|AB|_|AB|_提示：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0焦点弦|AB|AB|x1x2p|AB|px1x2|AB|y1y2p|AB|py1y2抛物线方程及其几何性质 已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程自主解答当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y22px(p0)当x时，yp，由|AB|2p8，得p4.故抛物线方程为y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程y22px(p0)由对称性知抛物线方程为y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解：由题意，抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，直线l：x，A，B两点坐标为，.|AB|2|p|.OAB的面积为4，2|p|4.p2.抛物线方程为y24x.抛物线几何性质的应用 已知A，B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程自主解答|OA|OB|，设A，B坐标分别为A(x0，y0)，B(x0，y0)AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，kFAkOB1，即1，yx02px0(x00，p0)x0p.直线AB的方程为xp.若将“AOB的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OAOB”，求|AB|的值解：由题意知，AOB为等腰直角三角形，且A，B两点关于x轴对称如图，设A(x0，y0)，则kOA1且y2px0，x0y02p，|AB|2y04p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段AB垂直于x轴故求直线AB的方程时求出A的横坐标即可2已知A，B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点，若OAOB，且OA的方程为y2x，|AB|5，求抛物线的方程解：OAOB，AOB为直角三角形OA所在直线为y2x，OB所在直线方程为yx.由得A点坐标.由得B点坐标为(8p，4p)|AB|5， 5.p0，解得p，所求抛物线方程为y2x.抛物线中过焦点的弦长问题 过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，求AB的中点M到抛物线准线的距离自主解答抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1.抛物线y22px(p0)的过焦点的弦长|AB|x1x2p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x22py(p0)的过焦点的弦长|AB|y1y2p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值3已知直线l：y4x6与抛物线y26x交于A，B两点，求|AB|.解：设点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)联立消去y得8x227x180，则x1，x2是方程的两根，x1x2.y4x64过抛物线的焦点，|AB|x1x233.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交于A，B两点，|AB|2，求抛物线方程巧思抛物线与圆相交，根据已知可设抛物线方程为y2ax(a0)，由圆和抛物线的对称性，可判断A与B关于x轴对称，结合|AB|2可得A，B坐标，从而求出方程妙解由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上故可设抛物线方程为y2ax(a0)设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称|y1|y2|且|y1|y2|2.|y1|y2|.代入圆x2y24得x234，解得x1，A(1，)或A(1，)代入抛物线方程，得()2a，a3.所求抛物线方程是y23x或y23x.1顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()Ay2xBy23xCy26xDy26x解析：抛物线的焦点为，p3，且抛物线开口向右，抛物线的标准方程为y26x.答案：C2抛物线y28x上的点P到焦点的距离的最小值是()A2B4C6D8解析：设抛物线上的点P的坐标为(x0，y0)，则P点到焦点的距离d|x0|，故dmin2.答案：A3边长为1的等边三角形OAB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程为()Ay2xBy2xCy2xDy2x解析：由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px(p0)，且A为x轴上方的点，则易求A，p.p.抛物线方程为y2x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2x.答案：C4已知AB是抛物线2x2y的焦点弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标为_解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A，Q，B.由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2.又|PQ|y0，所以y02，解得y0.答案：5抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_解析：设所求点(x0，y0)，则xy2，又yx0，x0.y0.答案：6已知过抛物线y24x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程解：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，过焦点F，垂直于x轴的弦长为436.弦所在直线斜率存在，由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点设直线方程为yk(x1)由消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，x1x2.|AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36，236.k.故所求直线的方程为yx1或yx1.一、选择题1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，)B6，)C(3，)D3，)解析：抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)答案：D2过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB，抛物线的准线交x轴于点M，则AMB是()A锐角B直角C钝角D锐角或钝角解析：由题意可得|AB|2p.又焦点到准线距离|FM|p，F为AB中点，|FM|AB|.AMB为直角三角形且AMB90.答案：B3已知抛物线y24x的焦点为F，准线l交x轴于R，过抛物线上点P(4，4)作PQl于Q，则梯形PQRF的面积是()A18B16C14D12解析：由题意知PQRF为一直角梯形，其中PQRF，且|PQ|415，|RF|2，SPQRF414.答案：C4设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|4即可根据抛物线定义，|FM|y02，由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)答案：C二、填空题5以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x4y30上的抛物线方程是_解析：由题意知，抛物线的焦点为F，抛物线方程是y26x.答案：y26x6若抛物线y2mx与椭圆1有一个共同的焦点，则m_.解析：椭圆的焦点为(2,0)当抛物线焦点为(2,0)时，m8，当抛物线焦点为(2,0)时，m8.答案：87对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|a|，则a的取值范围是_解析：设点Q的坐标为.由|PQ|a|，得|PQ|2a2，即y2a2，整理，得y(y168a)0.y0，y168a0.即a2恒成立而2的最小值为2，a2.答案：(，28已知顶点与原点O重合，准线为直线x的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1y21，则AOB的大小是_解析：由已知得抛物线方程为y2x，因此x1x2y1y2yyy1y2(1)2(1)0.AOB90.答案：90三、解答题9若抛物线的顶点是双曲线16x29y2144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴，求抛物线的标准方程解：双曲线方程16x29y2144，化为标准形式为1，中心为原点，左顶点为(3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x3.由题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，可得3，故p6.因此，所求抛物线的标准方程为y212x.10证明：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切证明：如图，设抛物线方程y22px(p0)，准线为l，AB为抛物线的焦点弦，点P为AB的中点，P为以AB为直径的圆的圆心，AMl，BNl，PQl，垂足分别为M，N，Q.则|AB|AF|BF|AM|BN|2|PQ|，即|PQ|AB|，所以以AB为直径的圆必与准线相切即得证第二课时直线与抛物线的位置关系读教材填要点直线与抛物线的位置关系设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2bxc0，(1)若a0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0时，直线与抛物线相离，无公共点(2)若a0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合小问题大思维若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合直线与抛物线的位置关系 若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合自主解答因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解消去y，得(a1)x12ax，整理得(a1)2x2(3a2)x10.(1)当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解(2)当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0或a.当a0时，原方程组有唯一解当a时，原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是.若将“曲线C：y2ax恰有一个公共点”改为“抛物线C：y2ax(a0)相交”，如何求解？解：列方程组消去x并化简，得(a1)y2aya0.(*)当a10即a1时：方程(*)化为y10，y1.方程组的解为故直线与抛物线相交当a10即a1时，由(a)24a(a1)0，得5a24a0，结合a0，解得a或a0.综上所述，实数a的取值范围是(0，)直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点1.如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程解：(1)由得x24x4b0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0.解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)为x24x40.解得x2，代入x24y，得y1，故点A(2,1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y1的距离即r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.弦长、中点弦问题 已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x2y10截得的弦长为，求此抛物线方程自主解答设抛物线方程为：x2ay(a0)，由方程组消去y得：2x2axa0，直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即a0或a8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2(x1x2)，弦长为|AB| .|AB|， ，即a28a480，解得a4或a12，所求抛物线方程为：x24y或x212y.(1)研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标，而是直接利用弦长公式|AB|x1x2|，另外要注意斜率不存在的情况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率2过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，若弦恰被Q平分，求AB所在直线方程解：设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有k，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)将代入，得y1y24(x1x2)，4.k4.经验证，此时直线与抛物线相交所求弦AB所在直线方程为y14(x4)，即4xy150.抛物线中的定点、定值问题 A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，并满足OAOB，求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线AB经过一个定点自主解答(1)因为AB斜率不为0，设直线AB方程为myxb，由消去x，得y22pmy2pb0.由(2pm)28pb0，又y1y22pm，y1y22pb，OAOB，x1x2y1y20.y1y20.b22pb0.b2p0.b2p.y1y24p2，x1x2b24p2.所以A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p2和4p2；(2)直线AB的方程为myx2p，所以AB过定点(2p,0)直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求3过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B，求证：yAyBp2.证明：斜率不存在时y1p，y2p，y1y2p2.斜率存在时，消去x得，yk，y1y2p2.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试抛物线y2x上，存在P，Q两点，并且P，Q关于直线y1k(x1)对称，求k的取值范围解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(y1y2)(y1y2)x1x2.又y1y2k.1k(y1y2)22y1y22k2kk22y1(ky1)22ky2k2y1k3k20.4k48k(k3k2)0.k(k32k4)0.k(k32k4)0.k(k2)(k22k2)0.k(2,0)法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且PQ的中点M(x0，y0)，由题意可知直线y1k(x1)的斜率存在，且k0.不妨设直线PQ的方程为xkym0，由得y2kym0.y1y2k.即y0，x0.又中点M(x0，y0)在抛物线的内部，yx0，0，即0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A5pB10pC11pD12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x24pxp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，y1y29p.直线过抛物线的焦点，|AB|y1y2p10p.答案：B2过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2D2解析：不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为2，且过点(1,0)得直线AB方程为y2(x1)，代入抛物线方程y28x得4(x1)28x，整理得x24x10，x1x24，x1x21，|AB|2.答案：B3过点(0,1)作直线，使它与抛物线y22x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条D4条解析：斜率不存在时，直线x0符合题意，斜率存在时，由得k2x2(2k2)x10，k0时，符合题意，k0时，由0得k.答案：C4已知OAB为等腰直角三角形，其中|OA|OB|，若A，B两点在抛物线yx2上，则OAB的周长是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x201且k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得：x1x24k2k2k2k20.解得k2或k1(舍去)由弦长公式得：|AB|2.一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的值为()A4B4Cp2Dp2解析：取特殊位置，当ABx轴时，A，B.4.答案：B2设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B2,2C1,1D4,4解析：准线x2，Q(2,0)，设l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.当k0时，x0，即交点为(0,0)，当k0时，0，1k0或0k1.综上，k的取值范围是1,1答案：C3已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2B2C4D4解析：由解得由题得知解得又知a4，故a2，b1，c，焦距2c2.答案：B4设定点M与抛物线y22x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1d2取最小值时，P点的坐标为()A(0,0)B(1，)C(2,2)D.解析：连接PF，则d1d2|PM|PF|MF|，知d1d2的最小值为|MF|，当且仅当M，P，F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y，与y22x联立可得x2，y2.答案：C二、填空题5已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：显然x10，x20.又y4x1，y4x2，所以yy4(x1x2)8，当且仅当x1x24时取等号，所以yy的最小值为32.答案：326过抛物线y22px(p0)的焦点F作斜率为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由条件可知直线AB的方程为yx，由得x2px2px.即x23px0，又|AB|8，即8.x1x28p.即3p8p，p2.答案：27直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：由消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的面积S848.答案：488已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A，B满足3，则弦AB的中点到准线的距离为_解析：依题意，设直线AB的方程是xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x得y24(my1)，即y24my40，所以y1y24m，y1y24.又3，(1x1，y1)，(x21，y2)，于是有y13y2，y，(y1y2)24y，弦AB的中点到准线的距离为1111.答案：三、解答题9已知抛物线y2x与直线l：yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解：(1)证明：易知k0，联立消去x，得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y21.因为yx1，yx2，所以(y1y2)2x1x2，所以x1x21，所以x1x2y1y20，即0，所以OAOB.(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(1,0)，所以SAOB|ON|y1y2|ON|1 ，解得k2，所以k.10.如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明：设AB的斜率为k，则AC的斜率为k.故直线AB的方程是y2k(x4)，与y2x联立得，y2k(y24)，即ky2y4k20.y2是此方程的一解，2yB，yB，xBy.B.kACk，以k代替k代入B点坐标得点C的坐标为，kBC为定值
展开阅读全文