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05三角函数的图象与性质1.已知角的终边经过点P(-5,-12),则sin32+的值等于().A.-513B.-1213C.513D.1213解析因为角的终边经过点P(-5,-12),由三角函数的定义可知cos =xr=-5(-5)2+(-12)2=-513,所以sin32+=-cos =513.答案C2.已知函数f(x)=sin(x+)(0),满足f(x1)=-1,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为4,则=().A.2B.1C.12D.4解析由题意可知|x1-x2|的最小值为T4,所以T=44=,所以=2=2,故选A.答案A3.将函数y=cos 3x的图象向左平移4个单位长度,所得图象对应的函数解析式是().A.y=cos3x+4B.y=cos3x-4C.y=cos3x-34D.y=cos3x+34解析由函数图象的平移规则可知y=cos 3x的图象向左平移4个单位长度得到y=cos 3x+4的图象,即所求函数解析式是y=cos3x+34,故选D.答案D4.给出下列结论:函数y=sin(k-x)(kZ)为奇函数;函数y=tan2x+6的图象关于点12,0对称;函数y=cos2x+3的图象的一条对称轴为直线x=-23;若tan(-x)=2,则sin2x=15.其中正确结论的序号为.解析y=sin(k-x)=(-1)k-1sin x是奇函数,故正确;tan212+6=3,故不正确;cos2-23+3=-1,故正确;tan(-x)=-tan x=2,tan x=-2,sin2x=sin2xsin2x+cos2x=tan2xtan2x+1=45,故不正确.综上,正确结论的序号为.答案能力1能运用三角函数的图象和性质解决问题【例1】已知函数f(x)=23sin xcosx+2cos2x+m-1在0,2上的最小值为-2.(1)求m的值及f(x)图象的对称轴;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)由已知得f(x)=3sin 2x+cos 2x+m=2sin2x+6+m.0x2,62x+676,当2x+6=76,即x=2时,f(x)min=2-12+m=-2,m=-1,此时f(x)=2sin2x+6-1.由2x+6=k+2(kZ),解得x=k2+6(kZ),f(x)图象的对称轴为直线x=k2+6(kZ).(2)由-2+2k2x+62+2k(kZ),可得-3+kx6+k(kZ),f(x)的单调递增区间为-3+k,6+k(kZ).有关函数y=Asin(x+)+B的性质及应用问题的求解思路:第一步,先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(x+)+B的形式;第二步,把“x+”视为一个整体,借助复合函数性质求解y=Asin(x+)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.已知函数f(x)=sin2x+3,则下列结论正确的是().A.f(x)的图象关于直线x=3对称B.f(x)的图象关于点4,0对称C.把f(x)的图象向左平移12个单位长度,得到一个偶函数的图象D.f(x)的最小正周期为,且在0,6上为增函数解析把x=3代入函数f(x)的解析式得f3=sin =0,故A不正确;把x=4代入函数f(x)的解析式得f4=sin2+3=cos3=120,故B不正确;函数f(x)=sin2x+3的图象向左平移12个单位长度,得到g(x)=sin2x+12+3=sin2x+6+3=cos 2x的图象,g(x)是偶函数,故C正确;由题意知函数f(x)的最小正周期为,令2k-22x+32k+2(kZ),解得k-512xk+12(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间为k-512,k+12(kZ).令k=0,得-512x12,令k=1,得712x1312,所以函数f(x)在0,6上为增函数是错误的,故D不正确.故选C.答案C能力2会根据三角函数的图象求其解析式【例2】已知函数y=Asin(x+)(A0,0)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为().A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sin2x+6D.y=2sin2x+3解析(法一)由图象知T2=3-6=2,故T=,因此=2=2.又图象的一个最高点的坐标为3,2,所以A=2,且23+=2k+2(kZ),故=2k-6(kZ),结合选项可知y=2sin2x-6.(法二)当x=3,y=2时,排除B,C,D.故选A.答案A已知图象求解析式y=Asin(x+)+B(A0,0)的方法:(1)A=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2.(2)已知函数的周期T,则=2T.(3)求的常用方法:代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入解析式(A,B已知)求解.五点法:确定值时,一般以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.具体如下:“第一点”满足x+=0;“第二点”满足x+=2;“第三点”满足x+=;“第四点”满足x+=32;“第五点”满足x+=2.已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则函数g(x)=Acos(x+)图象的一个对称中心为().A.-6,0B.12,0C.2,0D.56,0解析由函数f(x)=Asin(x+)的部分图象知,A=1,T=4712-3=,=2.由五点法画图知,7122+=32+2k,kZ,解得=3+2k(kZ).|,=3,f(x)=sin2x+3,则g(x)=cos2x+3.由2x+3=2+k(kZ),解得x=k2+12(kZ).当k=0时,对称中心为12,0,故选B.答案B能力3能熟练进行三角函数图象的变换【例3】将函数f(x)=sin 2xcos +cos 2xsin |2的图象向左平移3个单位长度后的图象关于原点对称,则函数f(x)在0,2上的最小值为().A.-32B.32C.-12D.12解析由已知f(x)=sin(2x+)|2的图象向左平移3个单位长度后,得到函数y=sin2x+3+=sin2x+23+的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得23+=k,kZ,=3+k(kZ).由|0)的图象一般有两个途径:途径一,先平移变换,再伸缩变换.先将y=sin x的图象向左(0)或向右(0)倍,得到y=sin(x+)的图象.途径二,先伸缩变换,再平移变换.先将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的1(0)倍,再沿x轴向左(0)或向右(0)平移|个单位长度,得到y=sin(x+)的图象.只有区分这两个途径,才能灵活进行图象变换.已知函数f(x)=cos(2x-)-3sin(2x-)|2的图象向右平移12个单位长度后关于y轴对称,则的值为().A.12B.6C.-3D.3解析由题意得函数f(x)=cos(2x-)-3sin(2x-)=2cos2x-+3|2,所以函数f(x)的图象向右平移12个单位长度后,可得y=2cos2x-6-+3=2cos2x-+6的图象.由于所得图象关于y轴对称,故-+6=k,kZ,又因为|0,h(1)=m0,=1-8(m-1)0,解得1m0,0,|2的图象过点P12,0,且图象上与P点最近的一个最高点的坐标为3,5.(1)求该函数的解析式;(2)若将此函数的图象向左平移6个单位长度后,再向下平移2个单位长度得到g(x)的图象,求g(x)在-6,3上的值域.解析(1)由已知可得A=5,T4=3-12=4,T=,=2,y=5sin(2x+).由5sin212+=0得6+=2k,kZ,|2,=-6, y=5sin2x-6.(2)g(x)=5sin2x+6-6-2=5sin2x+6-2.-6x3,-62x+656,-12sin2x+61,-92g(x)3,g(x)在-6,3上的值域为-92,3.一、选择题1.若f(x)=sin x+cosx在a,0上是增函数,则a的最小值是().A.-34B.-2C.4D.解析由题意得f(x)=sin x+cosx=2sinx+4.由-2+2kx+42+2k(kZ),得-34+2kx4+2k(kZ),令k=0,则f(x)的一个单调递增区间为-34,4.由f(x)在a,0上是增函数,得a-34,故a的最小值是-34.答案A2.已知f(x)=sin(-2x+)|2图象的一个对称中心为6,0,则f(x)图象的对称轴可能为().A.x=-6B.x=-23C.x=1112D.x=12解析因为f(x)=sin(-2x+)|2图象的一个对称中心为6,0,所以(-2)6+=k,kZ,即=k+3,kZ.又|0,0,|)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=2cos 2x的图象,可以将f(x)的图象().A.向右平移12个单位长度B.向左平移12个单位长度C.向右平移6个单位长度D.向左平移6个单位长度解析由函数f(x)的图象得A=2,T4=712-3,解得T=,则=2.当x=3时,f3=2cos23+=0,解得=-6,f(x)=2cos2x-6.为了得到g(x)=2cos 2x的图象,可以将f(x)的图象向左平移12个单位长度,故选B.答案B6.函数y=cos2x-3sin x的最大值与最小值的和为().A.-2B.14C.0D.174解析ycos=2x-3sin x=sin-2x-3sin x+1=-sinx+322+134.令t=sin x,得y=-t+322+134.因为sin x-1,1,所以t-1,1.由二次函数的性质可知该函数在-1,1上单调递减,所以ymax=-1+3+1=3,ymin=-1-3+1=-3,所以ymax+ymin=0,故选C.答案C7.已知函数f(x)=-2sin(2x+)(|),若5,58是f(x)的一个单调递增区间,则的取值范围为().A.-910,-310B.910,C.10,4D.-,1034,+解析令2k+22x+2k+32,kZ,所以k+4-2xk+34-2,kZ,所以函数f(x)在k+4-2,k+34-2上单调递增.因为5,58是f(x)的一个单调递增区间,所以58k+34-2,且k+4-25,kZ,解得2k+102k+4,kZ.又|0,为常数)的图象关于直线x=2对称,且f38=1,f(x)在-38,-4上单调,则的可能取值的个数为().A.2B.3C.4D.5解析函数f(x)=2sin(x+)(其中0,为常数)的图象关于直线x=2对称,当x=2时,函数f(x)取得最大值或最小值,即2+=2+k,kZ.f38=1,sin38+=22,即38+=4+2k或38+=34+2k,kZ.f(x)在-38,-4上是同一单调区间,8T2,即8,00,|2的图象的一条对称轴与它相邻零点的距离为4,且图象过点0,12,则该函数的解析式为.解析因为函数图象的一条对称轴与它相邻零点的距离为14个周期,所以T=.所以=2T=2,代入原式得y=sin(2x+).因为该函数的图象过点0,12,所以12=sin ,又|0,0,|2的部分图象如图所示,给出下列结论:f(x)的最小正周期为;f(0)=2;56,0是f(x)图象的一个对称中心;将f(x)的图象向左平移6个单位长度,所得到的图象对应的函数是偶函数.其中正确的结论是.(填序号)解析A=2,T4=712-3,T=,=2=2.2712+=32+2k,kZ,=3,f(x)=2sin2x+3.f(x)的最小正周期为,f(0)=2sin3=3,正确,错误.f56=2sin53+3=2sin 2=0,正确.将f(x)的图象向左平移6个单位长度得到g(x)的图象,g(x)=2sin2x+6+3=2sin2x+23,该函数不是偶函数,错误.因此正确的结论是.答案12.将函数f(x)=2sin2x+6的图象先向左平移12个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到g(x)的图象,若g(x1)g(x2)=16,且x1,x2-2,2,则x1-x2的最大值为.解析函数f(x)=2sin2x+6的图象向左平移12个单位长度,可得y=2sin2x+3的图象,再向下平移2个单位长度,得到g(x)=2sin2x+3-2的图象.又g(x1)g(x2)=16,且x1,x2-2,2,则g(x1)=g(x2)=-4.令g(x)=-4,得2x+3=-2+2k,kZ,即x=-512+k,kZ.由x1,x2-2,2,得x1,x2-1712,-512,712,1912.当x1=1912,x2=-1712时,x1-x2取得最大值,最大值为3.答案3三、解答题13.已知函数f(x)=2cos2-xsin x-(sin x-cos x)2.(1)若x0,求函数f(x)的值域;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的图象的对称中心坐标.解析(1)f(x)=2cos2-xsin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-sin2x+2sin xcosx-cos2x=sin2x-cos2x+2sin xcosx=sin 2x-cos 2x=2sin2x-4.因为x0,所以-42x-474,所以-12sin2x-42,故函数f(x)的值域是-1,2.(2)由(1)知f(x)=2sin2x-4,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sinx-4的图象,再把得到的图象向左平移4个单位长度,得到g(x)=2sin x的图象,所以函数g(x)=2sin x的图象的对称中心是(k,0)(kZ).
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