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第二讲 大题考法直线与圆题型(一)直线与圆的位置关系 主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.典例感悟例1如图，在RtABC中，A为直角，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(1,1)在直线AC上，BC中点为M(2,0)(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(2,0)，且与RtABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程解(1)因为AB边所在直线的方程为x3y60，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为3.故AC边所在直线的方程为y13(x1)，即3xy20.设C为(x0，3x02)，因为M为BC中点，所以B(4x0,3x02)点B代入x3y60，解得x0，所以C.所以BC所在直线方程为x7y20.(2)因为RtABC斜边中点为M(2,0)，所以M为RtABC外接圆的圆心又AM2，从而RtABC外接圆的方程为(x2)2y28.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r，圆方程为(xa)2(yb)2r2.由于P与M相交，则公共弦所在直线m的方程为(42a)x2bya2b2r240.因为公共弦长为4，M半径为2，所以M(2,0)到m的距离d2，即2，化简得b23a24a，所以r .当a0时，r最小值为2，此时b0，圆的方程为x2y24.方法技巧解决有关直线与圆位置关系的问题的方法(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组演练冲关已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，所以SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)因为OMON，CMCN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN2，所以kOC.所以t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，所以t2不符合题意，舍去所以圆C的方程为(x2)2(y1)25.题型(二)圆中的定点、定值问题主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值.典例感悟例2已知圆C：x2y29，点A(5,0)，直线l：x2y0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标解(1)设所求直线方程为y2xb，即2xyb0.因为直线与圆C相切，所以3，解得b3.所以所求直线方程为2xy30.(2)法一：假设存在这样的点B(t,0)当点P为圆C与x轴的左交点(3,0)时，；当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时，.依题意，解得t或t5(舍去)下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数设P(x，y)，则y29x2，所以.从而为常数法二：假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数，则PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，将y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290对x3,3恒成立，所以解得或(舍去)故存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.方法技巧关于解决圆中的定点、定值问题的方法(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明演练冲关1已知圆C：(x3)2(y4)24，直线l1过定点A(1,0)(1) 若l1与圆相切，求直线l1的方程；(2) 若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x2y20的交点为N，判断AMAN是否为定值若是，则求出定值；若不是，请说明理由解：(1)若直线l1的斜率不存在，即直线l1的方程为x1，符合题意；若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2，即2，解得k，则l1：3x4y30.所求直线l1的方程是x1或3x4y30.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线l1方程为kxyk0.由得N.又因为直线CM与l1垂直，故可得M.所以AMAN6，为定值故AMAN是定值，且为6.2已知圆M的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若APB60，求点P的坐标；(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD时，求直线CD的方程；(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标解：(1)设P(2m，m)，因为APB60，AM1，所以MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0或m，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.(2)易知直线CD的斜率存在，可设直线CD的方程为y1k(x2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得k1或k，故所求直线CD的方程为xy30或x7y90.(3)证明：设P(2m，m)，MP的中点Q，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为(xm)22m22，化简得x2y22ym(2xy2)0，此式是关于m的恒等式，故解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0,2)或.题型(三)与直线、圆有关的最值或范围问题主要考查与直线和圆有关的长度、面积的最值或有关参数的取值范围问题. 典例感悟例3已知ABC的三个顶点A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解(1)线段AB的垂直平分线方程为x0，线段BC的垂直平分线方程为xy30.所以外接圆圆心H(0,3)，半径为.圆H的方程为x2(y3)210.设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被圆H截得的弦长为2，所以d3.当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x3为所求；当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y2k(x3)，则3，解得k.所以直线l的方程为y2(x3)，即4x3y60.综上，直线l的方程为x3或4x3y60.(2) 直线BH的方程为3xy30，设P(m，n)(0m1)，N(x，y)因为点M是线段PN的中点，所以M，又M，N都在半径为r的圆C上，所以即因为该关于x，y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6m,4n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.又3mn30，所以r210m212m109r2对任意的m0,1成立而f(m)10m212m10在0,1上的值域为，所以r2且109r2.又线段BH与圆C无公共点，所以(m3)2(33m2)2r2对任意的m0,1成立，即r2.故圆C的半径r的取值范围为.方法技巧1隐形圆问题有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题2隐形圆的确定方法(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；(2)动点P 对两定点A，B张角是90(kPAkPB1)确定隐形圆；(3)两定点A，B，动点P满足确定隐形圆；(4)两定点A，B，动点P满足PA2PB2是定值确定隐形圆；(5)两定点A，B，动点P满足PAPB(0，1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；(6)由圆周角的性质确定隐形圆3与圆有关的最值或范围问题的求解策略与圆有关的最值或取值范围问题的求解，要对问题条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，要掌握解决问题常使用的思想方法，如要善于利用数形结合思想，利用几何知识，求最值或范围，要善于利用转化与化归思想将最值或范围转化为函数关系求解演练冲关1.(2018苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y24x0及点A(1,0)，B(1,2)(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2PB212？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由解：(1)因为圆C的标准方程为(x2)2y24，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为lAB，A(1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为xym0，则圆心C到直线l的距离为d.因为MNAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，x2(y1)24，因为|22|0.由(2)知，k0也满足题意所以k的取值范围是.4已知过点A(1,0)的动直线l与圆C：x2(y3)24相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x3y60相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ2时，求直线l的方程；(3)探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由解：(1)l与m垂直，且km，kl3，故直线l方程为y3(x1)，即3xy30.圆心坐标(0,3)满足直线l方程，当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时， 易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0，PQ2，CM1，则由CM1，得k， 直线l：4x3y40. 故直线l的方程为x1或4x3y40.(3)CMMN，().当l与x轴垂直时，易得N，则，又(1,3)，5.当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，则由得N，则，5.综上所述，与直线l的斜率无关，且5.
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