资源描述
02函数的图象与函数的应用1.函数y=13|log3x|的图象是().解析当x1时,y=13|log3x|=13log3x=1x.当0x1时,y=13|log3x|=3log3x=x.y=13|log3x|=1x,x1,x,0x1,其图象为选项A中的图象,故选A.答案A2.函数f(x)=log2x-1x的零点所在的区间为().A.0,12B.12,1C.(1,2)D.(2,3)解析函数f(x)的定义域为(0,+),且函数f(x)在(0,+)上为增函数.f12=log212-112=-1-2=-30,f(1)=log21-11=0-10,f(3)=log23-131-13=230,f(1)f(2)2有两个不同的零点,则实数a的取值范围是().A.-1,0)B.(1,2C.(1,+)D.(2,+)解析当x2时,由-x2+4x=0,得x=0;当x2时,令f(x)=log2x-a=0,得x=2a.又函数f(x)有两个不同的零点,2a2,解得a1,故选C.答案C4.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元,该设备每年生产的收入均为21万元,设该设备使用了n(nN*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于().A.6B.7C.8D.7或8解析盈利总额为21n-9-2n+12n(n-1)3=-32n2+412n-9,由于对称轴为直线n=416,所以当n=7时,盈利总额取最大值,故选B.答案B能力1会识别函数的图象【例1】函数y=sin x+ln|x|在区间-3,3上的图象大致为().解析设f(x)=sin x+ln|x|,当x0时,f(x)=sin x+lnx,则f(x)=cos x+1x.当x(0,1)时,f(x)0,即函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数,排除B;当x=1时,f(1)=sin 10,排除D;因为f(-x)=sin(-x)+ln|-x|=-sin x+ln|x|,所以f(-x)f(x),所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除C.故选A.答案A【例2】函数y=sin x(1+cos 2x)在区间-2,2上的图象大致为().解析函数y=sin x(1+cos 2x)的定义域为-2,2,其关于原点对称,且f(-x)=sin(-x)(1+cos 2x)=-sin x(1+cos 2x)=-f(x),则f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除D;当0x0,排除C;又2sin xcos2x=0,可得x=2或x=-2或x=0,排除A,故选B.答案B函数图象的辨识主要从以下几个方面入手:(1)函数图象的对称性;(2)函数图象的单调性;(3)特殊点.1.函数f(x)=2x-1,x0,-x2-2x,x0的图象大致是().解析当x0时,f(x)=2x-1,根据指数函数g(x)=2x的图象向下平移一个单位,即可得到函数f(x)的图象.当x0时,f(x)=-x2-2x,根据二次函数的图象与性质,可得到相应的图象.综上,函数f(x)的图象为选项D中的图象.答案D2.函数f(x)=1-x2ex的图象大致是().解析因为f(-x)=1-x2e-x与f(x)=1-x2ex不相等,所以函数f(x)=1-x2ex不是偶函数,其图象不关于y轴对称,所以可排除B,C.代入x=2,得f(x)0,可排除A.故选D.答案D能力2会利用函数图象解决函数的零点问题【例3】已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x-1,0时,f(x)=x2,若在区间-1,3内,函数g(x)=f(x)-loga(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是().A.(1,5)B.(1,5C.(5,+)D.5,+)解析由题意可知函数f(x)是周期为2的偶函数,结合当x-1,0时,f(x)=x2,绘制函数图象如图所示,函数g(x)有4个零点,则函数f(x)与函数y=loga(x+2)的图象在区间-1,3内有4个交点,结合函数图象可得,loga(3+2)1,解得a5,即实数a的取值范围是5,+).答案D【例4】定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=1-2x,x0,1),1-|x-3|,x1,+),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的所有零点之和为().A.2a-1B.1-2-aC.-log2(1+a)D.log2(1-a)解析当x0时,f(x)=1-2x,x0,1),x-2,x1,3),4-x,x3,+),又f(x)是奇函数,画出函数f(x)的图象,由函数f(x)图象和F(x)=0f(x)=a(0a1),可知F(x)有五个零点,其中有两个零点关于直线x=-3对称,还有两个零点关于直线x=3对称,所以这四个零点的和为零,第五个零点是直线x=a与函数y=12x-1,x(-1,0交点的横坐标,即方程a=12x-1的解,解得x=-log2(1+a),故选C.答案C函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出这两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x0,1时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=12|x-1|(-1x3),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为().A.2B.4C.6D.8解析因为f(x+1)=-f(x),所以f(x)的周期为2.函数g(x)=12|x-1|关于直线x=1对称,作图可得四个交点的横坐标关于直线x=1对称,其和为22=4,故选B.答案B2.函数f(x)=ln(-x-1),x-1,2x+1,x-1,若函数g(x)=f(f(x)-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是().A.0,+)B.0,1C.(-1,0D.-1,+)解析设t=f(x),则a=f(t),在同一坐标系内作y=a与y=f(t)的图象(如图),当a-1时,两个图象有两个交点,设交点的横坐标分别为t1,t2,且t1-1,t2-1.当t12000,可得lg 1.3+nlg 1.12lg 2,得n0.050.19,n3.8,n4,即4年后,到2021年科研经费超过2000万元,故选B.答案B与实际应用相结合的问题题型是高考命题的一个方向,解决此类问题的一般程序:读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答.在标准状况下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位:mol/L,记作c(H+)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位:mol/L,记作c(OH-)的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lgc(H+),健康人体血液的pH保持在7.357.45之间,那么健康人体血液中的c(H+)c(OH-)可以为().(参考数据:lg 20.30,lg 30.48)A.12B.13C.16D.110解析cH(+)cOH(-)=10-14,c(H+)c(OH-)=c2(H+)1014.7.35-lgc(H+)7.45,10-7.45c(H+)10-7.35,10-0.9c(H+)c(OH-)=1014c2(H+)110,排除D项.0.7lg 3lg 2,100.732,10-0.71312,排除A、B项.故选C.答案C一、选择题1.已知方程x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,则2x12x2=().A.3B.6C.8D.2解析由题意得x1+x2=3,2x12x2=2x1+x2=23=8,故选C.答案C2.函数f(x)=2x+2x的零点所在的区间是().A.-2,-1B.-1,0C.0,1D.1,2解析因为f(x)是增函数且f(-2)=2-2+2(-2)0,f(-1)=2-1+2(-1)0,所以由零点存在性定理知,函数f(x)的零点在-1,0内,故选B.答案B3.函数f(x)=ln(|x|-1)+x的大致图象为().解析由题意知,|x|-10,则x1或x1时,f(x)=ln(x-1)+x为单调递增函数,排除B,C;当x=-2时,f(-2)=ln(|-2|-1)-2=-2bcB.cabC.bacD.cba解析f(x)e=|x-1|的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(1,+)上单调递增,又154752,f54f75f(2),又f75=f35,f54f351,若f(x)f(1)恒成立,则实数a的取值范围为().A.1,2B.0,2C.1,+)D.2,+)解析f(x)=(x-a)2-1,x1,lnx,x1,且f(x)f(1)恒成立,f(1)是f(x)的最小值.由二次函数性质可得a1,由分段函数性质得(1-a)2-1ln 1,解得0a2.综上,a的取值范围为1,2,故选A.答案A7.已知函数f(x)=-xx+1,x(-1,0),x,x0,1,若方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根,则实数m的取值范围是().A.0,12B.12,+C.0,13D.0,12解析在同一坐标系内画出y=f(x),y=mx+m在(-1,1上的图象,动直线y=mx+m过定点(-1,0),观察图象可知,当0m12时,两图象有两个不同的交点,从而方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根,故选D.答案D8.已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|g(x)时,h(x)=-g(x).则h(x)().A.有最小值-1,最大值1B.有最大值1,无最小值C.有最小值-1,无最大值D.有最大值-1,无最小值解析画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.观察图象,在点A左侧,点B右侧(含A,B两点),|f(x)|g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|g(x),故h(x)=-g(x).综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值,故选C.答案C9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是()小时.A.22B.23C.33D.24解析由题意可得,当x=0时,y=192,当x=22时,y=48.将其代入y=ekx+b可得eb=192,e22k+b=48,即有e11k=12,eb=192,则当x=33时,y=e33k+b=18192=24.故选D.答案D二、填空题10.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调递增区间为.解析由题设知m=-1,所以f(x)=xa,又2a=4,所以a=2,故g(x)=log2(x-1),其单调递增区间为(1,+).答案(1,+)11.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合函数f(t)=aent(n为常数).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min后甲桶中的水只有a4升,则m的值为.解析因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等,所以函数f(t)=aent满足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln 12,因此当k min后甲桶中的水只有a4升时,f(k)=a4,即15ln12k=ln14,所以15ln12k=2ln 12,解得k=10,所以m=k-5=5.答案5三、解答题12.已知函数f(x)=2x,x2,-(x-3)2+2,x2,若关于x的方程f(x)-k=0有唯一的实数根,求实数k的取值范围.解析画出函数f(x)=2x,x2,-(x-3)2+2,x2的图象如图所示,结合图象可以看出,当0k2时符合题意.故实数k的取值范围是0,1)(2,+).
展开阅读全文