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课时分层作业 五十一圆 的 方 程一、选择题(每小题5分,共25分)1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是()A.m1B.m1C.m1【解析】选B.由D2+E2-4F=16m2+4-20m0,解得:m1或m.2.(2018太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是()A.B.(1,+)C.D.1,+)【解析】选A.联立解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)24,所以-a0),若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4【解析】选B.根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m,因为APB=90,连接OP,易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.【变式备选】若圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是()A.(x-5)2+y2=5或(x+5)2+y2=5B.(x+)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5【解析】选D.设圆心坐标为(a,0)(a0,且当k2=0时,圆的面积最大,此时直线y=(k+1)x+1的斜率为1,故倾斜角为.二、填空题(每小题5分,共10分)6.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_.【解析】设点P(x,y),由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|=2,所以点P的轨迹方程是以MN为直径的圆,除去M,N两点,圆心(0,0),半径r=|MN|=2.所以点P的轨迹方程为x2+y2=4(x2).答案:x2+y2=4(x2)【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修2P124习题4.1B组T1“等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2),底边一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它是什么图形”.【变式备选】(2018银川模拟)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是_.【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1,根据对称性可知,四边形PACB的面积为2SAPC=2|PA|r=|PA|=,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离d=2.所以四边形PACB面积的最小值为=.答案:7.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则点M的轨迹方程为_.【解析】圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0.即(x-1)2+(y-3)2=2.答案:(x-1)2+(y-3)2=2三、解答题(每小题10分,共20分)8.若实数x,y满足x2+y2+4x-2y-4=0,求的最大值.【解析】实数x,y满足方程x2+y2+4x-2y-4=0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上的动点.=,几何意义为:动点(x,y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方得:(x+2)2+(y-1)2=9,它表示以C(-2,1)为圆心,半径R=3的圆,原点在圆内.连接CO,由圆的几何性质可知,所求的最大值为|OC|+R=+3.9.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程.(2)直角边BC中点M的轨迹方程.【解析】 (1)方法一:设顶点C(x,y),因为ACBC,且A,B,C三点不共线,所以x3且x-1.又kAC=,kBC=,且kACkBC=-1,所以=-1,即x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x3且x-1).方法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD|=|AB|=2,由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径长的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x3且x-1).(2)设点M(m,n),点C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得m=(m3且m1),n=,于是有x0=2m-3,y0=2n.由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x3且x-1)上,将x0=2m-3,y0=2n代入该方程得(2m-4)2+(2n)2=4,即(m-2)2+n2=1(m3且m1).因此动点M的轨迹方程为(m-2)2+n2=1(m3且m1).【变式备选】已知坐标平面上三点A(0,3),B(-,0),C(,0),P是坐标平面上的点,且PA=PB+PC,求P点的轨迹方程.【解析】如图,作正三角形PCD,由于ABC也是正三角形,所以可证得ACPBCD,所以BD=AP,CBD=PAC.又因为BD=PB+PD=PB+PC,所以点B,P,D共线.因为CBP=PAC,所以P点在ABC的外接圆上,因为ABC是正三角形,所以外接圆的圆心为线段AO上靠近点O的三等分点,其坐标为(0,1),半径为AO的,即r=2,又因为PAPB,PAPC,所以所求的轨迹方程为x2+(y-1)2=4(y0).1.(5分)过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围为 ()A.a1B.aC.-3aD.a-3或1a【解析】选D.圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的圆心为(a,0),且a3-2a,解得a1,所以a-3或1a.2.(5分)与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0成轴对称的圆的方程是()A.x2+y2-8x+10y+40=0B.x2+y2-8x+10y+20=0C.x2+y2+8x-10y+40=0D.x2+y2+8x-10y+20=0【解析】选C.已知圆的圆心坐标为O1(2,-1),半径r1=1,而点O1(2,-1)关于直线x-y+3=0的对称点为O(-4,5),故所求的对称圆的方程为(x+4)2+(y-5)2=1,即x2+y2+8x-10y+40=0.【变式备选】圆心在直线x-y+1=0上,且过点A(0,0),B(-2,4)的圆的方程为_.【解析】设点C为圆心,因为点C在直线x-y+1=0上,所以可设点C的坐标为(a,a+1).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即=,解得a=3,所以圆心坐标C(3,4),半径r=5,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.答案:(x-3)2+(y-4)2=253.(5分)圆x2+y2-4x+4y+6=0上的动点M到坐标原点的距离的最大值、最小值分别是_、_.【解析】因为圆心是A(2,-2),半径是,AO=2,所以动点M到坐标原点的距离的最大值、最小值分别是2+=3,2-=.答案:34.(12分)(2018北京模拟)已知圆O:x2+y2=1的弦AB长为,若线段AP是圆O的直径,则=_;若点P为圆O上的动点,则的取值范围是_.【解析】因为圆O:x2+y2=1的弦AB长为,且线段AP是圆O的直径,所以PAB=45,则=2=2;不妨设A,B,P(x,y),且-1y1,则=(0,-)=-y+1-+1,+1.答案:2-+1,+15.(13分)已知线段PQ的端点Q的坐标是(4,3),端点P在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段PQ的中点M的轨迹方程.【解析】设M点坐标为(x,y)、P点坐标为(x0,y0),因为M为PQ中点,所以化简得因为P在圆上,所以(x0+1)2+=4,从而(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,则M点的轨迹方程为+=1.
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