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第一章 集合与函数概念测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018天津高考,文1)设集合A=1,2,3,4,B=-1,0,2,3,C=xR|-1x2,则(AB)C=()A.-1,1B.0,1C.-1,0,1D.2,3,4答案C2.若A=1,2,B=(x,y)|xA,yA,则集合B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析因为B=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),所以有4个元素,故选D.答案D3.已知全集U=R,集合P=xN*|x0,则图中阴影部分表示的集合是()A.1,2,3,4,5,6B.x|x3C.4,5,6D.x|3x3,则阴影部分表示的集合是PQ=4,5,6.答案C4.如图,给出了奇函数f(x)的局部图象,那么f(1)等于()A.-4B.-2C.2D.4答案B5.函数f(x)=x+1+12-x的定义域为()A.-1,2)(2,+)B.(-1,+)C.-1,2)D.-1,+)解析由x+10,2-x0,解得x-1,且x2.答案A6.偶函数f(x)在0,+)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)1的x的取值范围是()A.0,2B.-2,2C.0,4D.-4,4解析因为函数f(x)是偶函数,f(-2)=1,所以f(2)=1.因为f(x-2)1,所以-2x-22,解之得0x4.故选C.答案C7.若函数f(x)=cx2x+3x0,且x-32满足f(f(x)=x,则常数c等于()A.3B.-3C.3或-3D.5或-3解析f(f(x)=ccx2x+32cx2x+3+3=c2x2cx+6x+9=x,即x(2c+6)x+9-c2=0,所以2c+6=0,9-c2=0,解得c=-3.故选B.答案B8.若函数f(x)(xR)是奇函数,则()A.函数f(x2)是奇函数B.函数f(x)2是奇函数C.函数f(x)x2是奇函数D.函数f(x)+x2是奇函数解析f(-x)2)=f(x2),则函数f(x2)是偶函数,故A错误;f(-x)2=-f(x)2=f(x)2,则函数f(x)2是偶函数,故B错误;函数f(-x)(-x)2=-f(x)x2,则函数f(x)x2是奇函数,故C正确;f(-x)+(-x)2f(x)+x2,且f(-x)+(-x)2-f(x)-x2,则函数f(x)+x2既不是奇函数又不是偶函数,故D错误.答案C9.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为()A.31B.17C.-17D.15解析令g(x)=ax3+bx,则g(x)为奇函数.因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.答案A10.若f(x)=(3a-1)x+4a,x1,-ax,x1是定义在(-,+)上的减函数,则a的取值范围是()A.18,13B.18,13C.0,13D.-,13解析由题意可得3a-10,-a0,-a3a-1+4a,解得18ab,则函数f(x)=x2|x|的图象是()解析根据运算ab=b,ab,a,ab,得f(x)=x2|x|=x2,x1,|x|,-1x1,由此可得图象如图所示.答案B12.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2(-,0(x1x2),有(x2-x1)f(x2)-f(x1)0.则当nN*时,有()A.f(-n)f(n-1)f(n+1)B.f(n-1)f(-n)f(n+1)C.f(n+1)f(-n)f(n-1)D.f(n+1)f(n-1)0得f(x)在(-,0上为增函数.又f(x)为偶函数,所以f(x)在0,+)上为减函数.又f(-n)=f(n)且0n-1nn+1,故f(n+1)f(n)f(n-1),即f(n+1)f(-n)f(n-1).故选C.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的取值范围是.解析当B=时,有m+12m-1,则m2.当B时,若BA,如图.则m+1-2,2m-17,m+12m-1,解得20,a12.答案a1216.函数f(x)=x的函数值表示不超过x的最大整数,例如,-3.5=-4,2.1=2,已知定义在R上的函数g(x)=x+2x,若A=y|y=g(x),0x1,则A中所有元素的和为.解析当x0,12时,02x1,g(x)=x+2x=0;当x12,1时,12x2,g(x)=x+2x=1;当x=1时,2x=2,g(x)=x+2x=3,A=y|y=g(x),0x1=0,1,3.A中所有元素的和为4.答案4三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知集合A=x|-3x6,B=x|x4,C=x|m-5x2m+3.(1)求AB;(2)若AC,求实数m的取值范围.解(1)AB=x|-3x6x|x4=x|-3x4.(2)因为A=x|-3x6,C=x|m-5x2m+3,所以当AC时,有m-56,解得32m2,所以实数m的取值范围是32m2.18.(本小题满分12分)已知函数f(x+1)=2x+1x+2.(1)求f(2),f(x);(2)证明:函数f(x)在1,17上为增函数;(3)求函数f(x)在1,17的最大值和最小值.解(1)f(2)=f(1+1)=1,令t=x+1,则x=t-1,故f(t)=2t-1t+1,即f(x)=2x-1x+1(x-1).(2)证明:任取1x1x217,则f(x1)-f(x2)=2x1-1x1+1-2x2-1x2+1=3(x1-x2)(x1+1)(x2+1),又1x1x217,x1-x20,3(x1-x2)(x1+1)(x2+1)0,即f(x1)0时,设0x10,f(x1)f(x2),f(x)在(0,+)上是减函数.20.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)为R上的单调减函数,求a的取值范围;若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)0恒成立,求实数t的取值范围.解(1)当x0,又f(x)为奇函数,且a=-2,f(x)=-f(-x)=x2-2x,f(x)=x2-2x,x0,在(0,+)上f(x)0时,f(x)在0,a2上单调递增,在a2,+上单调递减,不合题意.函数f(x)为单调减函数时,a的取值范围为a0.f(m-1)+f(m2+t)0,f(m-1)-f(m2+t).又f(x)是奇函数,f(m-1)-t-m2恒成立,t-m2-m+1=-m+122+54恒成立,t54.21.(本小题满分12分)某班共有学生50人,其中参加数学课外小组的学生有22人,参加物理课外小组的学生有18人,同时参加数学、物理两个课外小组的有13人,问:(1)数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生有多少人?(2)数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少人?解设全集U=某班学生,A=该班参加数学课外小组的学生,B=该班参加物理课外小组的学生,则知U中有50个元素,A中有22个元素,B中有18个元素,AB中有13个元素.AUB=该班只参加数学课外小组的学生,有22-13=9(个)元素,BUA=该班只参加物理课外小组的学生,有18-13=5(个)元素,AB=该班数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生,有9+13+5=27(个)元素,U(AB)中含有50-27=23(个)元素.综上:(1)数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生有27人.(2)数学和物理两个课外小组都不参加的学生有23人.22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值74.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间0,1上的最小值,其中tR;(3)在区间-1,3上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.解(1)由题意知二次函数图象的对称轴为x=32,最小值为74,可设f(x)=ax-322+74(a0).因为f(x)的图象过点(0,4),则a0-322+74=4,解得a=1,所以f(x)=x-322+74=x2-3x+4.(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其图象的对称轴为x=t.当t0时,函数h(x)在区间0,1上是增函数,所以h(x)的最小值为h(0)=4;当0t1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2;当t1时,函数h(x)在区间0,1上是减函数,所以h(x)的最小值为h(1)=5-2t.所以h(x)min=4,t0,4-t2,0t2x+m在区间-1,3上恒成立,mx2-5x+4在区间-1,3上恒成立,m(x2-5x+4)min(x-1,3).令g(x)=x2-5x+4,g(x)=x2-5x+4在区间-1,3上的最小值为-94,m-94.故实数m的取值范围为m-94.
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