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第2课时圆、椭圆的参数方程的应用1能用曲线的参数方程去研究曲线的性质2会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题基础初探1圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为(为参数)其中，参数的几何意义是以圆心A(a，b)为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角2椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为(为参数)思考探究1椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】椭圆1(ab0)和圆x2y2r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同2椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么？【提示】从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆1可以变成圆x2y21.利用圆x2y21的参数方程(是参数)可以得到椭圆1的参数方程(是参数)因此，参数的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角)，而不是OM的旋转角，如图质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_圆的参数方程的应用在圆x22xy20上求一点，使它到直线2x3y50的距离最大【自主解答】圆的方程x22xy20可化为(x1)2y21，所以设圆的参数方程为设P(1cos ，sin )，则点P到直线2x3y50的距离为d(其中sin ，cos )当sin()1，即时，d取到最大值，此时x1cos 1，ysin ，即点P(1，)即为所求再练一题1已知点P(x，y)在圆x2y21上，求x22xy3y2的最大值和最小值【解】圆x2y21的参数方程为(为参数)x22xy3y2cos22cos sin 3sin2sin 232sin 2cos 22sin(2)则当k(kZ)时，x22xy3y2取最大值为2，当k(kZ)时，x22xy3y2取最小值为2.椭圆参数方程的应用已知实数x，y满足3x22y26x，求：(1)xy的最大值；(2)x2y2的取值范围【导学号：98990035】【思路探究】本题表面上看是代数题，但由于方程3x22y26x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解【自主解答】方程3x22y26x，即(x1)21.设(1)xy1cos sin 1 sin()(其中tan ，0,2)所以xy的最大值为1.(2)x2y2(1cos )2(sin )212cos cos2sin2cos22cos (cos 2)2，因为cos 1,1，所以0x2y24.利用椭圆的参数方程(是参数)，将问题转化为三角函数问题处理再练一题2在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数，ab0)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_【解析】由已知可得椭圆标准方程为1(ab0)由sinm可得sin cos m，即直线的普通方程为xym.又圆的普通方程为x2y2b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得cm.又因为直线l与圆O相切，所以b，因此cb，即c22(a2c2)整理，得，故椭圆C的离心率为e.【答案】真题链接赏析(教材第47页例1)如图445，已知M是椭圆1(ab0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值图445在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长【命题意图】知识：考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等能力：通过参数方程与普通方程的互化及求线段AB长的过程，考查了运算求解能力【解】椭圆C的普通方程为x21.将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2.所以AB|t1t2|.1已知圆的方程为x2y24x，则它的参数方程是_【解析】x2y24x可化为(x2)2y24，圆心为(2,0)，半径r2.参数方程为(为参数，02)【答案】(为参数，02)2椭圆(为参数)的焦距是_【解析】根据参数方程，可知a3，b2.c，焦距为2c2.【答案】23椭圆y21上的点到直线xy60的距离的最小值为_【导学号：98990036】【解析】设P(cos ，sin )是椭圆上的点，则点P到直线xy60的距离d，当cos()1时，d取到最小值，最小值为2.【答案】24点P(x，y)在圆(x1)2(y1)21上运动，则3x4y的最大值为_，的最小值为_【解析】设x1cos ，y1sin ，所以3x4y73cos 4sin 75sin()(其中sin ，cos )，所以当sin()1时，3x4y取到最大值12.设t，则sin tcos t1，从而sin()t1(其中sin ，cos )，sin()，所以1，解得t0，即的最小值为0.【答案】120我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
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