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考前强化练5解答题组合练(A)1.已知数列an是等差数列,且a1,a2(a1a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)在(1)中,设bn=,求证:当c=-时,数列bn是等差数列.2.(2018河南洛阳三模,文17)设正项数列an的前n项和Sn满足2=an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,数列bn的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.3.(2018河北唐山三模,文19)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BAC=PAD=PCD=90.(1)求证:平面PAB平面ABCD;(2)若AB=AC=2,PA=4,E为棱PB上的点,若PD平面ACE,求点P到平面ACE的距离.4.(2018山东潍坊一模,文18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=4,AB=BC=2,AC=2,点M是棱AA1上不同于A,A1的动点.(1)证明:BCB1M;(2)若CMB1=90,判断点M的位置并求出此时平面MB1C把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比.5.(2018河北唐山三模,文20)已知点A,B分别是x轴,y轴上的动点,且|AB|=3,点P满足=2,点P的轨迹为曲线,O为坐标原点.(1)求的方程;(2)设点P在第一象限,直线AB与的另一个交点为Q,当POB的面积最大时,求|PQ|.6.已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.参考答案考前强化练5解答题组合练(A)1.(1)解 解方程x2-6x+5=0得其两根分别为1和5,a1,a2(a1a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根,a1=1,a2=5,等差数列an的公差为4,Sn=n1+4=2n2-n.(2)证明 当c=-时,bn=2n,bn+1-bn=2(n+1)-2n=2,bn是以2为首项,公差为2的等差数列.2.解 (1)当n=1时,由2=a1+1,得a1=1.当n2时,由已知,得4Sn=(an+1)2,4Sn-1=,两式作差,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,又因为an是正项数列,所以an-an-1=2.数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,an=2n-1.(2)bn=,Tn=b1+b2+bn=1-+=1-.数列Tn是递增数列,当n=1时Tn最小,T1=,Tn.3.(1)证明 底面ABCD是平行四边形,BAC=PAD=PCD=90,CDPC,CDAC,ACPC=C,CD平面PAC,则CDPA,又PAAD,ADCD=D,则PA平面ABCD,PA平面PAB,平面PAB平面ABCD.(2)解 由(1)知PA底面ABCD,VP-ABC=SABCPA=224=,连接BD交AC于O,连接EO,PD平面ACE,EOPD.O是BD的中点,E是PB的中点,VE-ABC=SABCPA=,VP-EAC=VP-ABC-VE-ABC=.在RtPAB中,AE=PB=,ACAB,ACPA,PAAB=A,AC平面PAB,ACAE,SEAC=2.设点P到平面ACE的距离为h,则VP-EAC=h=,h=.即点P到平面ACE的距离为.4.(1)证明 在ABC中,AB2+BC2=8=AC2,ABC=90,BCAB,BCBB1,BB1AB=B,BC平面ABB1A1,又B1M平面ABB1A1,BCB1M.(2)解 当CMB1=90时,设AM=t(0t0,n0.则+n2=1,即m2+4n2=4.由(1)知,点B的坐标为(0,3n),则POB的面积S=m3n=m2n,当且仅当m2=4n2=2,即m=,n=时,取等号,此时POB的面积取得最大值,此时P的坐标为,B的坐标为0,则AB的方程为y=-x+,代入+y2=1得5x2-12x+14=0,由xPxQ=得xQ=,则Q的坐标为,则|PQ|=.6.解 (1)由题意可知,抛物线的准线方程为y=-,所以圆心M(0,4)到准线的距离是.(2)设P(x0,),A(x1,),B(x2,),由题意得x00,x01,x1x2.设过点P的圆C2的切线方程为y-=k(x-x0),即y=kx-kx0+.则=1,即(-1)k2+2x0(4-)k+(-4)2-1=0.设PA,PB的斜率为k1,k2(k1k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以k1+k2=,k1k2=.将代入y=x2,得x2-kx+kx0-=0,由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以kAB=x1+x2=k1+k2-2x0=-2x0,kMP=.由MPAB,得kABkMP=-2x0=-1,解得,即点P的坐标为,所以直线l的方程为y=x+4.
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