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课时跟踪检测（十七） 空间向量与平行、垂直关系层级一学业水平达标1若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1) D(2,3，1)解析：选D问题即求与n共线的一个向量即n(2，3，1)(2,3，1)2已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3 B6C9 D9解析：选Cl，v与平面平行，uv，即uv0，1332z10，z9.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是()A(1,1，1) B(1，1,1)C(1,1,1) D(1，1，1)解析：选D(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故平面ABC的一个法向量是(1，1，1)4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1DDA1A解析：选B建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.5.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C，从而A1MD1P，可得正确又B1Q与D1P不平行，故不正确6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)解析：由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确答案：7在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或8.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE面B1DE，则AE_.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D，3a.设E(a,0，z)(0z3a)，则，(a,0，z3a)，.又a2a200，故由题意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.答案：a或2a9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可设，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有即取z11，则n1(1,1，1)(1,0，1)，n10.又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有即取z21，则n2(1，1,1)n2，PB平面EFD.10已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，M分别是BC，AE的中点，ADAA1a，AB2a.试问在线段CD1上是否存在一点N使MN平面ADD1A1，若存在确定N的位置，若不存在说明理由解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，B(a,2a,0)，C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，E，M，(0,2a,0)，(0，2a，a)，假设CD1上存在点N使MN平面ADD1A1并设1(0，2a，a)(01)则(0,2a,0)(0，2a，a)(0,2a(1)，a)，.又是平面ADD1A1的一个法向量，则2a(a2a)0，.又MN平面ADD1A1.故存在N为CD1的中点使MN平面ADD1A1.层级二应试能力达标1已知a，b分别是直线l1，l2的一个方向向量若l1l2，则()Ax3，yBx，yCx3，y15 Dx3，y解析：选Dl1l2，x3，y，故选D.2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论：平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)；平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)；平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)其中正确结论的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B(0,1,0)，ABAD，AA1AD，又ABAA1A，AD平面ABB1A1，正确；(1,0,0)，而(1,1,1)10，(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，不正确；(0,1，1)，(1,0,1)，(1,1,1)0，(1,1,1)0，B1CCD1C，(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，正确；(0,1,1)，而(0,1,1)20，(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即不正确因此正确结论的个数为2，选B.3已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) B.C. D.解析：选B要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0，因此，要对各个选项进行检验对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0，故B正确；同理可排除C、D.故选B.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：选B建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，M(2,1,1)，N(1,1,2)，(1,0,1)又平面BB1C1C的一个法向量为n(0,1,0)，1001100，n，MN平面BB1C1C.故选B.5若直线l的一个方向向量为a(1,0,2)，平面的一个法向量为u(2,0，4)，则直线l与平面的位置关系为_解析：u2a，au，l.答案：l6已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则_.解析：，0，352z0，z4.(x1，y，3)，且平面ABC，即解得故.答案：7.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点求证：平面B1EF平面BDD1B1.证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2，0)，B1(2，2，4)，E(2，0)，F(，2，0)，则(0，4)，(，0)设平面B1EF的法向量为n(x，y，z)则ny4z0，nxy0，得xy，zy，令y1，得n.又平面BDD1B1的一个法向量为(2，2，0)，而n1(2)1200，即n，平面B1EF平面BDD1B1.8.如图，在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC3，G是PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BEECPFFB12.(1)求证：平面GEF平面PBC；(2)求证：EG与直线PG和BC都垂直证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz.则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)于是(0，1，1)，(1，1，1)设平面GEF的法向量是n(x，y，z)，则即可取n(0,1，1)显然(3,0,0)是平面PBC的一个法向量又n0，n，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，平面GEF平面PBC.(2)由(1)，知(1，1，1)，(1,1,0)，(0，3,3)，0，0，EGPG，EGBC，EG与直线PG和BC都垂直
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