matlab的符号运算.ppt

MATLAB与科学计算 南京师范大学地理科学学院 第四章MATLAB符号运算 在科学研究和工程应用中 除了存在大量的数值计算外 还有对符号对象进行的运算 即在运算时无须事先对变量赋值 而将所得到结果以标准的符号形式来表示 MATLAB符号计算是通过集成在MATLAB中的符号运算工具箱 SymbolicMathToolbox 来实现的 应用符号计算功能 可以直接对抽象的符号对象进行各种计算 并获得问题的解析结果 2 符号运算入门 例 求解一元二次方程的的根 solve a x 2 b x c 0 ans b b 2 4 a c 1 2 2 a b b 2 4 a c 1 2 2 a 例 计算定积分 symsxab int x 2 a b ans b 3 3 a 3 3 3 例 求导数 x sym x diff cos x 2 ans 2 cos x sin x MATLAB符号运算的对象全是文字符号 算的结果也是文字符号 符号运算基本覆盖了初等数学和高等数学中绝大多数内容 都可用MATLAB命令行实现 4 本章学习目标 掌握符号对象的定义方法以及符号表达式的运算法则 掌握微积分的符号计算方法 掌握级数求和的方法以及将函数展开为泰勒级数的方法 掌握代数方程和微分方程符号求解的方法 5 第一节符号对象及其运算 MATLAB数值运算的对象是数值 而符号运算的对象是非数值的符号对象 符号对象就是指代表非数值的符号字符串 例如 符号常量 符号变量以及有它们参与的数学表达式等 在进行符号运算前首先要建立符号对象 符号对象及其运算建立符号对象符号表达式运算符号表达式中变量的确定符号矩阵 6 一 建立符号对象 1 建立符号对象 1 sym函数sym函数用来建立单个符号量 一般调用格式为符号量名 sym 符号字符串 该函数可以建立一个符号量 符号字符串可以是常量 变量 函数或表达式 例如 a sym a 建立符号变量a符号变量参与运算前无须赋值 其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式 a sym a 定义符号变量aw a 3 3 a 10 符号运算w a 3 3 a 10 x 5 定义数值变量xw x 3 3 x 10 数值运算w 150whos 查看内存变量NameSizeBytesClassAttributesa1x1126symw1x18doublex1x18double 应用sym函数还可以定义符号常量 使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同 下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别 p1 sym pi a1 sym 4 p2 pi a2 4 y1 sin p1 3 y2 sin p2 3 y3 cos a1 10 2 y4 cos a2 10 2 whosNameSizeBytesClassa11x158syma21x18doublep11x160symp21x18doubley11x1116symy21x18doubley31x1116symy41x18double 2 syms函数函数sym一次只能定义一个符号变量 使用不方便 MATLAB提供了另一个函数syms 一次可以定义多个符号变量 syms函数的一般调用格式为syms符号变量名1符号变量名2 符号变量名n用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符 变量间用空格而不要用逗号分隔 例如 用syms函数定义4个符号变量a b c d 命令如下 symsabcd 2 建立符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式 建立符号表达式有以下2种方法 1 用sym函数建立符号表达式 例如 U sym 3 x 2 5 y 2 x y 6 U 3 x 2 5 y 2 x y 6F sym cos x 2 sin 2 x 0 F cos x 2 sin 2 x 0M sym a b c d M a b c d 11 2 使用已经定义的符号变量组成符号表达式 例如 symsxy V 3 x 2 5 y 2 x y 6ans 3 x 2 2 y x 5 y 6 二 符号表达式运算 1 符号表达式的四则运算符号表达式的四则运算与数值运算一样 用 运算符实现 其运算结果依然是一个符号表达式 例如 f sym 2 x 2 3 x 5 定义符号表达式g sym x 2 x 7 f gans 3 x 2 2 x 2f gans 2 x 2 3 x 5 x 2 x 7 2 符号表达式的提取分子和分母运算如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式 可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母 其一般调用格式为 n d numden s 该函数提取符号表达式s的分子和分母 分别将它们存放在n与d中 numden函数在提取各部分之前 将符号表达式有理化后返回所得的分子和分母 如果符号表达式是一个符号数组 numden返回两个新数组n和d 其中n是分子数组 d是分母数组 例如 h sym 3 2 2 x 1 3 a x a y 3 x 4 n d numden h n 3 2 x 1 a x a y 3 x 4 d 2 3 x y 1 15 3 符号表达式的因式分解与展开factor s 对符号表达式s分解因式 expand s 对符号表达式s进行展开 collect s 对符号表达式s合并同类项 collect s v 对符号表达式s按变量v合并同类项 16 例如 symsxy s1 x 3 y 3 factor s1 对s分解因式ans x y x 2 x y y 2 s2 7 x 2 8 y 2 x 2 3 y 2 expand s2 对s展开ans 7 x 4 13 x 2 y 2 24 y 4 17 s3 x y x 2 y 2 1 collect s3 y 对s按变量y合并同类项ans y 3 x y 2 x 2 1 y x x 2 1 factor sym 630 对符号整数分解因式ans 2 3 2 5 7 18 4 符号表达式系数的提取c coeffs s x 该函数返回多项式中按指定变量升幂顺序排列的系数 若没有指定变量 则返回所有项的常系数 且按离字符 x 近原则确定主变量 例如 symsxys 5 x y 3 3 x 2 y 2 2 y 1 coeffs s 求所有项的常系数 按x的升幂排列 1 2 5 3 coeffs s y 求变量y的系数 1 2 3 x 2 5 x 5 符号表达式的化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数如下 simplify s 应用MuPAD简化规则对s进行化简 simple s 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简 并显示化简过程 例如 s sym x 2 5 x 6 x 2 simplify s ans x 3 20 函数simple试用几种不同的化简工具 然后选择在结果表达式中含有最少字符的那种形式 例如 symsx s cos x 2 sin x 2 simple s 自动调用多种函数对s进行化简 并显示每步结果显示一系列化简过程后 最后显示化简结果 ans 1 21 6 符号表达式与数值表达式之间的转换利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式 例如 sym 3 14 1 5 sym 3 14 1 5 ans ans 3 14 1 5 116 25函数eval可以将符号表达式变换成数值表达式 例如 phi sym 1 sqrt 5 2 phi 1 sqrt 5 2 eval phi ans 1 6180 22 7 符号多项式与多项式系数向量之间的转换利用函数sym2poly可以将符号多项式转换为多项式系数向量 而函数poly2sym可以将多项式系数向量转换为符号多项式 例如 u sym2poly sym x 3 2 x 5 u 10 2 5 v poly2sym u Y v Y 3 2 Y 5 23 三 符号表达式中变量的确定 findsym symvar函数可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量 该函数的调用格式为findsym s n symvar s n 函数返回符号表达式s中的n个符号变量 若没有指定n 则返回s中的全部符号变量 findsym以字符串形式返回结果 symvar以向量形式返回结果 例如 symsxayzb 定义5个符号变量s1 3 x y s2 a y b 定义2个符号表达式findsym s1 findsym s2 2 ans ans x yy bsymvar s1 s2 ans a b x y 在求函数的极限 导数和积分时 如果用户没有明确指定自变量 MATLAB将按以下原则确定主变量并对其进行相应微积分运算 25 符号变量确定原则 1 除了i和j之外 字母位置最接近x的字母 若距离相等 则取ASCII码大的 2 若没有除了i与j以外的字母 则视x为默认的符号变量 3 可利用函数findsym string N 来询问在众多符号中 哪N个为符号变量 例如 键入findsym 3 a b y 2 1 即可得到答案y 更多的例子见下表 可用findsym s 1 或symvar s 1 查找表达式s的主变量 例如 symsabwyz findsym a z b w 1 ans w findsym a y b w 1 ans y 27 四 符号矩阵 函数作用于符号矩阵时 是分别作用于矩阵的每一个元素 例 化简矩阵 并对其因式分解 symsabxym a 2 x 2 a x sin y 2 x y a b 1 15 x 2 y 2 2 x y simplify m 对符号矩阵化简处理ans a x 1 cos y 2 x y a b 1 15 x 2 y 2 2 x y factor m 对符号矩阵因式分解 a x sin y 2 x y a b 1 15 x y 2 由于符号矩阵是一个矩阵 所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算 前面介绍的应用于数值矩阵的运算符和函数 如diag triu tril inv det rank eig等 也可直接应用于符号矩阵 例如 A sym sin x x 2 cos x log x A sin x x 2 cos x log x 29 B A B sin x cos x x 2 log x C inv A C log x x 2 cos x log x sin x x 2 x 2 cos x log x sin x cos x x 2 cos x log x sin x sin x x 2 cos x log x sin x E triu A E sin x x 2 0 log x 30 一 符号矩阵的创立 1 使用sym函数直接创建符号矩阵与直接创建数值矩阵的方法几乎完全相同 矩阵元素可以是任何不带等号的符号表达式 各符号表达式的长度可以不同 矩阵元素之间可用空格或逗号分隔 例如 a sym 1 s x sin x con x 2 b x 9 exp x 2 y 2 log tanh y a 1 s x sin x con x 2 b x 9 exp x 2 y 2 log tanh y 31 2 用创建子阵的方法创建符号矩阵该方法是仿照matlab的字符串矩阵的直接输入法设计的 这种方法不需要调用sym命令 但要保证同一列的各元素字符串具有相同的长度 为此 在较短的字符串的前后可用空格补充 例如 ms 1 s sin x 1 exp x ms 1 s sin x 1 exp x 32 a sym 1 s x sin x con x 2 b x 9 exp x 2 y 2 log tanh y a 1 s x sin x con x 2 b x 9 exp x 2 y 2 log tanh y b a exp i 3 x 3 y 3 b 1 s x sin x con x 2 b x 9 exp x 2 y 2 log tanh y exp i 3 x 3 y 3 33 3 将数值矩阵转化为符号矩阵在matlab中 数值矩阵不能直接参与符号运算 必须先转化为符号矩阵 不论数值矩阵的元素原先是用分数还是用浮点数表示 转化后的符号矩阵都将以最接近的精确有理数形式给出 例如 a 2 3sqrt 2 0 222 1 41 0 23 log 3 a 0 66671 41420 22201 40004 34781 0986 b sym a b 2 3 sqrt 2 111 500 7 5 100 23 4947709893870346 2 52 34 4 符号矩阵的索引与修改matlab的矩阵索引和修改同数值矩阵的索引和修改完全相同 即用矩阵的坐标括号表达式实现 例如 对上例中的矩阵b的索引与修改 b 2 3 ans 4947709893870346 2 52 b 2 3 log 9 b 2 3 sqrt 2 111 500 7 5 100 23 log 9 35 二 符号矩阵的运算 一 基本运算matlab6 x以后的版本改变了早期版本中符号矩阵运算与数值运算有所不同的情况 把符号矩阵的基本运算符与数值矩阵的运算符统一起来 1 符号矩阵的四则运算矩阵的加 减 运算 例如 a sym 1 x1 x 1 1 x 2 1 x 3 b sym x 1 x 2 0 b aans x 1 x 1 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 3 36 矩阵的乘 除 运算 例如 a bans 6 x 2 x 3 7 x 2 3 2 x 2 x 1 2 x 3 6 2 x 3 10 x 2 14 x 1 2 x 3 2 x 2 3 2 x 矩阵的转置 a ans 1 conj x 1 2 conj x 1 1 conj x 1 3 conj x 37 符号矩阵的行列式运算 例如 det a ans 2 x x 3 x 1 x 2 符号矩阵的逆例如 inv b ans 0 1 x 2 1 x x 2 38 符号矩阵的秩例如 rank a ans 2符号矩阵的幂运算 a 2ans 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x x 1 1 x 1 x 3 1 x 2 x 1 x 3 x 2 1 x 1 x 2 1 x 3 2 39 符号矩阵的指数运算1 符号矩阵的 数组指数 运算由函数exp实现例如 exp b ans exp x exp 1 exp x 2 1 2 符号矩阵的 矩阵指数 运算由函数expm来实现例如 symstreal A 01 10 E expm t A E exp i t 2 1 2 exp i t i 2 exp i t i exp i t 2 i exp i t 2 i 2 exp i t exp i t 2 1 2 exp i t E simplify E E cos t sin t sin t cos t 40 T为实性符号变量 矩阵指数 V D EIG X andEXPM X V diag exp diag D V 二 矩阵的分解 1 符号矩阵的特征值分解例如 b sym x 1 x 2 0 x y eig b x x x 2 4 x 8 1 2 2 x 4 x x 2 4 x 8 1 2 2 x 4 1 1 y x 2 x 2 4 x 8 1 2 2 0 0 x 2 x 2 4 x 8 1 2 2 41 2 符号矩阵的奇异值分解例如 symstreal E cos t sin t sin t cos t E cos t sin t sin t cos t sigma svd E sigma cos t 2 sin t 2 1 2 cos t 2 sin t 2 1 2 simplify sigma ans 1 1 42 3 符号矩阵的三角抽取函数diag tril triu例如 z sym x yx asin y t alog y b yexp t x triu z ans x y x a sin y 0 log y b 0 0 x diag z ans x y log y x tril z 1 ans 0 0 0 t a 0 0 y exp t 0 43 z x y x a sin y t a log y b y exp t x 三 符号矩阵的简化符号工具箱提供了符号矩阵因式分解 展开 合并 简化及通分等符号操作函数 1 因式分解 factor factor S 输入变量S为一符号矩阵 此函将因式分解此矩阵的各个元素 为了分解大于2 52的整数 可使用factor sym N 符号表达式的分解 例如 44 symsx factor x 9 1 ans x 1 x 2 x 1 x 6 x 3 1 大整数的分解例如 factor sym 12345678901234567890 ans 2 3 2 5 101 3803 3607 27961 3541 2 符号矩阵的展开expand S 对符号矩阵的各元素的符号表达式进行展开 此函数经常用于多项式的表示式中 也常用于三角函数 指数函数和对数函数的展开中 45 symsxy expand x 1 3 多项式的展开ans x 3 3 x 2 3 x 1 expand sin x y 三角函数展开ans sin x cos y cos x sin y 3 同类式的合并collect S v 将符号矩阵S中的各元素的v的同幂项系数合并 collect S 对由findsym函数返回的默认变量进行同类项合并 46 例如 symsxy collect x 2 y y x x 2 2 x ans y 1 x 2 y 2 x R2 collect x y x 2 y 2 1 y R2 y 3 x y 2 x 2 1 y x x 2 1 47 本堂小结 建立符号对象 1 建立符号对象 sym syms 2 建立符号表达式 用sym函数建立表达式 使用已经定义的符号变量组成符号表达式 符号表达式运算 1 符号表达式的四则运算 2 符号表达式的提取分子和分母运算 3 符号表达式的因式分解与展开 factor expand collect s collect s v 4 符号表达式系数的提取 coeffs s x 5 符号表达式的化简 simplify s simple s 6 符号表达式与数值表达式之间的转换 7 符号多项式与多项式系数向量之间的转换 sym2poly poly2sym 48 本堂小结 符号表达式中变量的确定 1 findsym s n 以字符串形式返回 2 symvar s n 以向量形式返回符号矩阵 1 符号矩阵的创立 使用sym函数直接创建符号矩阵 用创建子阵的方法创建符号矩阵 将数值矩阵转化为符号矩阵 符号矩阵的索引与修改 2 符号矩阵的基本运算 四则运算 行列式运算 求逆 秩 幂运算 指数运算 转置 3 符号矩阵的分解 eig svd 4 符号矩阵的三角抽取函数 diag tril triu 5 符号矩阵的简化 因式分解factor s 展开 expand s 同类式合并collect s v collect s 通分 N D numden A 49 符号微积分 微积分的数值计算方法只能求出以数值表示的近似解 无法得到以函数形式表示的解析解 符号运算能获得微积分的解析解 符号微积分符号极限符号导数符号积分 50 在MATLAB中求函数极限的函数是limit 可用来求函数在指定点的极限值和左右极限值 对于极限值为 没有定义 的极限 MATLAB给出的结果为NaN 极限值为无穷大时 MATLAB给出的结果为inf limit函数的调用格式 limit f x a 求符号函数f x 的极限值 即计算当变量x趋近于常数a时 f x 函数的极限值 变量x可以是其他的符号变量 符号极限 limit f a 求当默认自变量x趋近于常数a时 符号函数f x 的极限值 limit f 计算a 0时的极限 limit f x a right 或limit f x a left 求符号函数f的极限值或 right 表示变量x从右边趋近于a left 表示变量x从左边趋近于a 例 求下列极限 1 f sym sin x h sin x h limit f sym h 0 ans cos x 3 f sym x sqrt x 2 1 x limit f sym x inf left ans 1 2 2 f sym 1 t x x limit f inf ans exp t 4 f sym cot x 1 log x limit f x 0 right ans exp 1 diff函数用于对符号表达式求导数 一般调用格式如下 diff s 按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数 diff s v 以v为自变量 对符号表达式s求一阶导数 diff s n 按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数 n为正整数 diff s v n 或diff s n v 以v为自变量 对符号表达式s求n阶导数 符号导数 3 2符号微积分 例3 3 求下列函数的导数 1 2 3 symsx f1 cos x x diff f1 未指定求导变量和阶数 按默认规则处理ans 2 x sin x 2 diff f1 x 2 求f1对x的二阶导数ans 2 sin x 2 4 x 2 cos x 2 diff f1 x 3 求f1对x的三阶导数ans 8 x 3 sin x 2 12 x cos x 2 求 1 symsabt f21 a t sin t f22 b 1 cos t diff f22 t diff f21 t 求y对x的一阶导数ans b sin t a cos t 1 求 2 symsxy f3 x 6 3 y 4 2 x 2 y 2 diff f3 x 求z对x的偏导数ans 6 x 5 4 x y 2 diff f3 y 求z对y的偏导数ans 4 x 2 y 12 y 3 diff diff f3 x y ans 8 x y 58 求 3 符号积分由函数int来实现 一般调用格式如下 int s 没有指定积分变量和积分阶数时 系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分 int s v 以v为自变量 对被积函数或符号表达式s求不定积分 int s a b 求符号表达式s对默认符号变量从a到b得定积分 a和b为双精度或符号数量 59 符号积分 3 2符号微积分 int s v a b 求定积分运算 a b分别表示定积分的下限和上限 该函数求被积函数在区间 a b 上的定积分 a和b可以是两个具体的数 也可以是一个符号表达式 还可以是无穷 inf 当函数f关于变量x在闭区间 a b 上可积时 函数返回一个定积分结果 当a b中有一个是inf时 函数返回一个广义积分 当a b中有一个符号表达式时 函数返回一个符号函数 60 例 分别求下列积分 1 2 3 4 求的不定积分 61 f sym 1 1 x 2 f1 int f 求不定积分f1 atan x f2 int f a b 求定积分f2 atan b atan a f3 int f 1 2 求定积分f3 atan 2 1 4 pi eval f3 计算积分值ans 0 3218 1 2 3 symsxt 求符号矩阵的不定积分 A cos x t sin x t sin x t cos x t int A t ans 1 x sin x t cos x t x cos x t x 1 x sin x t 63 求 4 的不定积分 以t为自变量 级数 掌握级数求和的方法和将函数展开为泰勒级数的方法 级数级数符号求和函数的泰勒级数 64 求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum 其调用格式为 symsum s 计算符号表达式对由findsym函数返回的符号变量的不定和 symsum s v 计算符号表达s对变量v的不定和 symsum s v n m 其中s表示一个级数的通项 是一个符号表达式 v是求和变量 v省略时使用系统的默认变量 n和m是求和的开始项和末项 65 级数符号求和 例 求下列级数之和 1 s sym 1 n 1 n symsn sum symsum s 1 inf sum log 2 eval sum ans 0 6931 2 s sym x k k symsk sum symsum s k 0 inf sum exp x 3 s sym n 2 symsn sum symsum s n 1 n sum n 2 n 1 n 1 6 67 泰勒级数将一个任意函数表示为一个幂级数 即MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数 调用格式taylor f v n a 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数 展开到第n项 即变量v的n 1次幂 为止 n的默认值为6 v的默认值与diff函数相同 参数a指定将函数f在自变量v a处展开 a的默认值是0 函数的泰勒级数 例 求函数在指定点的泰勒级数展开式 1 求在x 0处的泰勒级数展开式 2 将在x 1处的5阶展开式 命令如下 symsxk taylor log x sqrt x x 1 求 1 ans x 1 6 x 3 3 40 x 5taylor 1 2 x 3 x x 1 2 x 3 x x 5 1 求 2 ans 17 8 5 8 x 13 32 x 1 2 29 128 x 1 3 45 512 x 1 4 本堂小结 符号微积分 1 符号极限 limit f x a limit f a limit f limit f x a right limit f x a left 2 符号导数 diff s diff s v diff s n diff s v n 3 符号积分 int s int s v int s v a b 级数 1 级数符号求和 symsum s v n m 2 函数的泰勒级数 taylor f v n a 70 符号方程求解 前面讲了线性及非线性方程数值求解的方法 在matlab中提供了solve dsolve 函数 用符号运算求解代数方程和常微分方程 符号方程求解符号代数方程求解符号常微分方程求解 71 代数方程是指未涉及微积分运算的方程 相对比较简单 在MATLAB中 求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现 其调用格式如下 solve s 求解符号表达式s的代数方程 求解变量为默认变量 solve s v 求解符号表达式s的代数方程 求解变量为v solve s1 s2 sn v1 v2 vn 求解符号表达式s1 s2 sn组成的代数方程组 求解变量分别为v1 v2 vn 符号代数方程求解 solve函数能求解一般的线性 非线性或超越代数方程 对于不存在符号解的代数方程组 若方程组中不包含符号参数 则solve函数给出该方程组的数值解 例 解方程 s sym 1 x 2 a 1 x 2 x solve sym 1 x 2 a 1 x 2 x 2 a a 1 a 1 2 2 a a 1 a 1 2 例 解方程组 s sym 3 x 2 y z 10 x 3 y 2 z 5 x 2 3 y 2 12 xyz solve s x y z x 375 124 21 124 i 43 1 2 375 124 21 124 i 43 1 2 y 175 124 15 124 i 43 1 2 175 124 15 124 i 43 1 2 z 235 124 33 124 i 43 1 2 235 124 33 124 i 43 1 2 Or xyz solve s 在matlab中 用大写字母D表示导数 例如 Dy表示y D2y表示y Dy 0 5表示y 0 5 D3y D2y Dy x 5 0表示微分方程y y y x 5 0 符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现 其调用格式为dsolve e c v 该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解 参数v描述方程中的自变量 省略时按默认原则处理 若没有给出初值条件c 则求方程的通解 dsolve在求常微分方程组时的调用格式为dsolve e1 e2 en c1 cn v1 vn 符号常微分方程求解 该函数求解常微分方程组e1 en在初值条件c1 cn下的特解 若不给出初值条件 则求方程组的通解 v1 vn给出求解变量 若边界条件少于方程 组 的阶数 则返回的结果中会出现任意常数C1 C2 dsolve命令最多可以接受12个输入参量 包括方程组与定解条件个数 若没有给定输出参量 则在命令窗口显示解列表 若该命令得不到解析解 则返回一警告信息 同时返回一空的sym对象 这时 用户可以用命令ode23或ode45求解方程组的数值解 例 y1 dsolve Dy t 2 y 2 t 2 2 t 解方程 1 y1 t log t 2 C1 log t C1 y2 dsolve x Dy y exp x 0 y 1 2 exp 1 x 解方程 2 y2 1 x exp x 1 x exp 1 79 y3 dsolve x D2y 3 Dy x 2 y 1 0 y 5 0 x 解方程 3 y3 1 3 x 3 125 468 31 468 x 4 x y dsolve Dx 4 x 2 y Dy 2 x y t 解方程组 4 x 1 3 C1 4 3 C1 exp 3 t 2 3 C2 exp 3 t 2 3 C2y 2 3 C1 exp 3 t 2 3 C1 4 3 C2 1 3 C2 exp 3 t 80 本堂小结 符号代数方程求解solve s solve s v solve s1 s2 sn v1 v2 vn 符号常微分方程desolve e c v 81 作业 82 作业 83 作业 84 作业 85