资源描述
单元质检三导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=ln x-x,则函数f(x)的单调递减区间是()A.(-,1)B.(0,1)C.(-,0),(1,+)D.(1,+)答案D2.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2答案A3.(2018全国1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=()A.-1B.0C.2D.4答案B解析由条件,知f(3)=1,k=f(3)=-13.g(x)=f(x)+xf(x),g(3)=f(3)+3f(3)=1+3-13=0.故选B.5.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点,则点P处切线倾斜角的取值范围为()A.0,256,B.23,C.0,223,D.2,56答案C解析因为y=3x2-3-3,故切线斜率k-3,所以切线倾斜角的取值范围是0,223,.故答案为C.6.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则ab为()A.23B.-23C.13D.-13答案D解析y=3x2,点P(1,1)为曲线y=x3上一点,曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=3,由条件知,3ab=-1,ab=-13.故答案为D.7.已知f(x)=x3-2x2+x+6,则f(x)在点P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A.4B.5C.254D.132答案C8.(2017山西五校联考改编)已知函数f(x)的导数为f(x),f(x)不是常数函数,且(x+1)f(x)+xf(x)0,对x0,+)恒成立,则下列不等式一定成立的是()A.f(1)2ef(2)B.ef(1)f(2)C.f(1)0D.ef(e)2f(2)答案A解析原式=xf(x)+f(x)+xf(x)=xf(x)+xf(x)0,设F(x)=exxf(x),那么F(x)=exxf(x)+exxf(x)=exxf(x)+xf(x)0,所以函数F(x)=exxf(x)是单调递增函数,F(1)F(2)ef(1)e22f(2),即f(1)0时,不等式12x2+(1-a)x-aln x2a-32a2恒成立,则a的取值范围是()A.0,1)(1,+)B.(0,+)C.(-,0(1,+)D.(-,1)(1,+)答案A解析不妨令f(x)=12x2+(1-a)x-alnx-2a+32a2,则f(x)=x+1-a-ax=x2+(1-a)x-ax=(x-a)(x+1)x,当a0,f(x)在x0时单调递增,当x0时f(x)不恒大于0,不符合题意;当a=0时,f(x)=12x2+x在x0时f(x)0恒成立;当a0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,f(x)min=f(a)=a2-a-alna=a(a-1-lna),令g(a)=a-1-lna,g(a)=1-1a,g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,g(a)min=g(1)=0,故当a0时且a1时f(x)0,综上a的取值范围是0,1)(1,+),故答案为A.10.若mR,函数f(x)=x-mx-2ln x有两个极值点x1,x2(x10,m0,得0m1,x2=1+1-m.令y=mx2=m(1+1-m),y=1+1-m-m21-m=0,解得m=89(0m1),故当0m0,y0,3227;当89m1时,y0,y1,3227;因此mx2的取值范围为0,32271,3227=0,3227.故答案为A.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江绍兴二模)已知函数f(x)=x3-3x,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程是;函数f(x)在区间0,2内的值域是.答案y=-3x-2,2解析函数f(x)=x3-3x,切点坐标(0,0),导数为y=3x2-3,切线的斜率为-3,所以切线方程为y=-3x;3x2-3=0,可得x=1,x(-1,1),y0,函数是增函数,f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2,函数f(x)在区间0,2内的值域是-2,2.故答案为y=-3x;-2,2.12.函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2,则a=,f(x)的单调递减区间是.答案1(-1,1)解析令f(x)=3x2-3a=0,得x=a.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-,-a)-a(-a,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值从而(-a)3-3a(-a)+b=6,(a)3-3aa+b=2.解得a=1,b=4,所以f(x)的单调递减区间是(-1,1).13.(2017浙江温州调研改编)已知函数f(x)=12x2-ax+ln x,若a=1,则切线斜率的取值范围为,若函数存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案1,+)2,+)解析f(x)=12x2-ax+lnx,f(x)=x-a+1x.a=1时,f(x)=x+1x-11,若f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,x+1x-a=0有解,a=x+1x2(x0).14.函数f(x)=x3-3x的极小值为,在(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是.答案-2-2,1)解析令f(x)=3x2-3=0,得x=1,且x=1为函数的极小值点,f(1)=-2,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上,则函数f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内,即实数a满足a16-a2,且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a16-a2,得-5a0,fa3=0,因此2a33-aa32+1=0,解得a=3.从而函数f(x)在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-1)=-4.故f(x)max+f(x)min=1-4=-3.17.函数y=x+2cos x在区间0,2上的最大值是.答案6+3解析y=1-2sinx,令y=0,且x0,2,得x=6,则x0,6时,y0;x6,2时,y0,h(x)=lnx+1x在1,+)上递增,-(a+1)h(1)=1,a-2.19.(15分)(2017浙江台州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.解(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b,由f-23=129-43a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,解得a=-12,b=-2.f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是-,-23和(1,+),递减区间是-23,1.(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x-1,2,当x=-23时,f(x)=2227+c为极大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.要使f(x)f(2)=2+c.解得c2.20.(15分)设函数f(x)=x2+ax-ln x(aR).(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(0,1上是减函数,求实数a的取值范围;(3)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1.(1)解a=1时,f(x)=x2+x-lnx(x0),f(x)=2x+1-1x=(2x-1)(x+1)x,当x0,12时,f(x)0.f(x)的单调递减区间为0,12,单调递增区间为12,+.(2)解f(x)=2x+a-1x,f(x)在区间(0,1上是减函数,f(x)0对任意x(0,1恒成立,即2x+a-1x0对任意x(0,1恒成立.a1x-2x对任意x(0,1恒成立,令g(x)=1x-2x,ag(x)min,易知g(x)在(0,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-1.a-1.(3)证明设切点为M(t,f(t),f(x)=2x+a-1x,切线的斜率k=2t+a-1t,又切线过原点,则k=f(t)t,f(t)t=2t+a-1t,即t2+at-lnt=2t2+at-1.t2-1+lnt=0,存在性:t=1满足方程t2-1+lnt=0,t=1是方程t2-1+lnt=0的根.再证唯一性:设(t)=t2-1+lnt,(t)=2t+1t0,(t)在(0,+)单调递增,且(1)=0,方程t2-1+lnt=0有唯一解.综上,切点的横坐标为1.21.(15分)(2017浙江杭州高三期末)设函数f(x)=x2+1x+1,x0,1.(1)证明:f(x)x2-49x+89;(2)证明:68816881,f29=7738916881,所以68818-8ln 2;(2)若a3-4ln 2,证明:对于任意k0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.证明(1)函数f(x)的导函数f(x)=12x-1x,由f(x1)=f(x2),得12x1-1x1=12x2-1x2,因为x1x2,所以1x1+1x2=12.由基本不等式,得12x1x2=x1+x224x1x2,因为x1x2,所以x1x2256.由题意得f(x1)+f(x2)=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-ln(x1x2).设g(x)=12x-lnx,则g(x)=14x(x-4),所以x(0,16)16(16,+)g(x)-0+g(x)2-4ln2所以g(x)在256,+)上单调递增,故g(x1x2)g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)8-8ln2.(2)令m=e-(|a|+k),n=|a|+1k2+1,则f(m)-km-a|a|+k-k-a0,f(n)-kn-an1n-an-kn|a|+1n-k0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
展开阅读全文