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21.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质读教材填要点1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e(0e1)2椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系(1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；(2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆小问题大思维1椭圆1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？提示：根据椭圆的标准方程1，得a5，b3，则c4.因此，长轴长2a10，短轴长2b6.离心率e0.8.焦点为F1(4,0)和F2(4,0)，顶点为A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，3)，B2(0,3)2如何用a，b表示离心率？提示：由e得e2，e .e.3借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远4借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？提示：点(a,0)，(a,0)与焦点F1(c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为ac和ac.由椭圆方程研究简单几何性质 求椭圆x29y281的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标自主解答把已知方程化成标准方程为1，于是a9，b3，c6，所以椭圆的长轴长2a18，短轴长2b6，离心率e.两个焦点的坐标分别为F1(6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(9,0)，A2(9,0)，B1(0，3)，B2(0,3)已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出其相关性质在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e；(2)椭圆C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e.由椭圆的简单几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e；(2)焦距为6，在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直自主解答(1)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a3，e，所以c.从而b2a2c23，所以椭圆的标准方程为1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b3，e，所以.所以a227.所以椭圆的标准方程为1.综上可知，所求椭圆的标准方程为1或1.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知，得c3，b3，a2b2c218.故所求椭圆的标准方程为1.(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：确定焦点所在的坐标轴；求出a2，b2的值；写出标准方程2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过点A(2,0), 1，a2.2a22b，b1.方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上设椭圆方程为1(ab0)，椭圆过点A(2,0)，1.b2,2a22b.a4.方程为1.综上所述，椭圆方程为y21或1.(2)由已知从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.求椭圆的离心率 设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A.B.C.D.自主解答法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e.法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案D若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“C上存在点P，使F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围解：由题意，知cb，c2b2.又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2.e2，e.故C的离心率的取值范围为.椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：(1)若已知a，c，则直接代入e求解；(2)若已知a，b，则由e 求解；(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可3已知椭圆的两个焦点F1，F2与短轴的端点B构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率解：如图，|F1F2|2c，|BF1|BF2|2a，且BF1F2为等腰直角三角形|BF1|BF2|ac.离心率e.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路椭圆1(ab0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆的离心率的取值范围巧思由APO90可知：点P(x，y)在以OA为直径的圆上，且P点又在椭圆上然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组求出P点的横坐标利用0xa建立关于a，b，c的不等关系妙解设P(x，y)，由APO90知：P点在以OA为直径的圆上圆的方程是：2y22y2axx2.又P点在椭圆上，故1. 把代入得：1(a2b2)x2a3xa2b20，故(xa)(a2b2)xab20，xa，x0x.又0xa，0a2b2a2a2.又0eb0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e_.解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，在直线x2y20中，令y0得c2；令x0得b1.a.e.答案：5已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析：e，2a12，a6，b3，椭圆方程为1.答案：16已知椭圆1(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解：椭圆方程为1，a22m1，b2m.c.由e，得 ，解得m，椭圆的标准方程为1.a，b，c.椭圆的长轴长为2，短轴长为，两焦点坐标分别为F1，F2，顶点坐标分别为A1(，0)，A2(，0)，B1，B2.一、选择题1已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同DC1与C2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.答案：D2椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A8,2B5,4C5,1D9,1解析：因为a5，c4，所以最大距离为ac9，最小距离为ac1.答案：D3已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为()A.y21Bx21C.1D.1解析：，且c，a，b1.椭圆方程为y21.答案：A4(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e .答案：A二、填空题5过椭圆1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c1，将x1代入1，得1，解得y2，即y，所以最短弦的长为23.答案：4,36若椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若ABF90，则椭圆的离心离为_解析：由已知|AB|2|BF|2|AF|2，(a2b2)a2(ac)2.a2b22acc2.又b2a2c2，c2aca20，即e2e10.e.答案： 7已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F(3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是_解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a和2b的菱形，因此其面积为S2a2b2ab40，ab20.又c3，且a2b2c2.a29，a49a24000.a225或a216(舍去)a5，b4，所求方程为1.答案：18若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_解析：由椭圆1，可得点F(1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，2x2，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，当且仅当x2时，取得最大值6.答案：6三、解答题9已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程解：e，.a23b2，即ab.过A(0，b)，B(a,0)的直线为1，把ab代入，即xyb0.又由点到直线的距离公式得，解得b1，a.所求方程为y21.10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率解：设椭圆的方程为1(ab0)，则F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，P.PF2AB，且kPF，又kAB，由kPF kAB，得.b2c.ac.e，即椭圆离心率为.第二课时直线与椭圆的位置关系 读教材填要点1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系判断方法：联立消去y得一个一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解0小问题大思维1若点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是什么？提示：点A(a,1)在椭圆1的内部，1，解得a，即a的取值范围为(，)2直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？提示：不能因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等3直线(1)yx1；(2)yx；(3)yx2分别与椭圆y21各有什么样的位置关系？提示：(1)由得3x24x0.160，直线与椭圆相交(2)由得3x24x40.(4)24340，直线与椭圆相切(3)由得3x28x60.6443680，直线与椭圆相离直线与椭圆位置关系 对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系自主解答由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)当m0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m时，0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0，即k时，直线和曲线有两个公共点当72k2480，即k或k时，直线和曲线有一个公共点当72k2480时，即kb0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB.3设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：(1)将(0,4)代入C的方程得1，b4.又e得，即1，a5.C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，则x1x23，AB的中点坐标，(x1x26)，即中点坐标为.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知椭圆1，直线l：y4xm，若椭圆上总有两点P，Q关于直线l对称，求m的取值范围妙解法一：(根与系数的关系)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上关于直线l：y4xm对称的两个点，则kPQ.设PQ所在直线方程为yb.由消去y，得13x28bx16b2480.(8b)2413(16b248)0.解得b2.x1x2，x1x2.设PQ中点为M(x，y)，则有x，yb.点M在直线y4xm上，4m.bm.把代入，得：2，解得m.故m的取值范围为.法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两点，M(x，y)是PQ的中点则有两式相减，得3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.x1x2，x1x22x，y1y22y，kPQ.kPQ，y3x.由解得M(m，3m)点M应在椭圆C的内部，1.解得m.故m的取值范围为.点评P，Q关于直线l对称包括两层含义：P，Q的中点在直线l上；直线PQ与直线l垂直1已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相交B相切C相离D相切或相交解析：把xy30代入y21得(3x)21，即5x224x320.2424532640，直线与椭圆相离答案：C2若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A.BCD解析：把ykx2代入1得，(3k22)x212kx60，因为直线与椭圆相切，(12k)24(3k22)60，解得k.答案：C3直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()A(1，)B(0，)C(0,1)(1,5)D1,5)(5，)解析：直线ykx1恒过(0,1)点，若5m，则1，若5m，则必有公共点，m1且m5.答案：D4直线ya与椭圆1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_解析：由1得2y2，2a0，n0)上两点，且，则_.解析：由知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，1.答案：16若直线yxm与椭圆4x2y21有公共点，则实数m的取值范围为_解析：由得5x22mxm210.因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.答案：7椭圆x24y216被直线yx1截得的弦长为_解析：由消去y并化简得x22x60.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22，x1x26.弦长|MN|x1x2| .答案：8已知F1，F2为椭圆的两个焦点，以F1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P，若PF2恰好与圆F1相切，则该椭圆的离心率为_解析：由已知圆F1的半径rc，即|PF1|c，又PF2与圆F1相切，所以PF2PF1，|F1F2|2c，|PF2|c.|PF1|PF2|(1)c2a.e1.答案：1三、解答题9已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点10设直线yxb与椭圆y21相交于A，B两个不同的点(1)求实数b的取值范围；(2)当b1时，求|AB|.解：(1)将yxb代入y21，消去y，整理得3x24bx2b220.因为直线yxb与椭圆y21相交于A，B两个不同的点，所以16b212(2b22)248b20，解得b.所以b的取值范围为(，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b1时，方程为3x24x0.解得x10，x2.相应地y11，y2.所以|AB|.
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