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3.3复数的几何意义学习目标1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点、向量间的对应关系2复数的模复数zabi(a，bR)，对应的向量为，则向量的模叫做复数zabi的模(或绝对值)，记作|z|或|abi|.由模的定义可知：|z|abi|.知识点三复数加、减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案如图，设，分别与复数abi，cdi对应，且，不共线，则(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐标运算，得(ac，bd)，所以与复数(ac)(bd)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量？答案z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量(如图)图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1z2.梳理(1)复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数(2)设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点()2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()3在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数()4复数的模一定是正实数()类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应点的坐标为Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限解(1)当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上(2)当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限反思与感悟按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值跟踪训练1求当实数m为何值时，复数z(m28m15)(m23m28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上？解(1)由题意，知解得即7m3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限(2)由题意，知由得m7或m4.因为m7不适合不等式，m4适合不等式，所以m4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上类型二复数模及其几何意义的应用例2已知复数z1i及z2i.(1)求|z1|及|z2|的值；(2)设zC，满足|z2|z|z1|的点z的集合是什么图形？解(1)|z1|i|2，|z2|1.(2)由(1)知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示反思与感悟(1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小(2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练2设z为复数，且|z|z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabi(a，bR)z1(a1)bi，且|z|z1|1，即即解得|z1|(abi)1|.类型三复数加、减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知与表示的复数分别为32i，24i.(1)因为，所以表示的复数为32i.(2)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.反思与感悟(1)常用技巧形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练3(1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是2i,32i，则|_.(2)若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是_答案(1)(2)(，1)解析(1)，表示的复数为(2i)(32i)13i，|.(2)z2z11(a1)i，由题意知a10，即a|xyi|y2i|解析34ixyi，x3，y4.则|15i|，|xyi|34i|5，|y2i|42i|2，|15i|xyi|y2i|.4设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于第_象限答案四解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点为(5，7)，其位于第四象限5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是_答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径(1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)(2)复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个2复数的模(1)复数zabi(a，bR)的模|z|.(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离一、填空题1复数z34i对应的向量的坐标是_答案(3,4)解析复数z34i对应的向量的坐标是(3,4)2已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是_答案(3,1)解析由题意得解得3m1.3已知a为实数，若复数z(a23a4)(a4)i为纯虚数，则复数aai在复平面内对应的点位于第_象限答案二解析若复数z(a23a4)(a4)i是纯虚数，则得得a1，则复数aai1i对应的点的坐标为(1,1)，位于第二象限4在复平面内，O是原点，向量对应的复数是3i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是_答案3i解析向量对应的复数是3i，即A(3,1)，点A关于虚轴的对称点为B(3,1)，则向量对应的复数是3i.5若复数z1ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是_答案，解析复数z1ai(i是虚数单位)的模不大于2，即1a24，即a23，可得a，6已知复数zai(aR)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z_.答案1i解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，b22b6(b1)250，即(m1)(m3)0，解得1m3.实数m的取值范围是(1,3)10在复平面内，对应的复数是2i，对应的复数是13i，则对应的复数为_答案34i解析由复数的几何意义知(2,1)，(2，1)，又(1，3)，(1，3)(2，1)(3，4)，对应的复数为34i.11复数z(a2)(a1)i，aR对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是_答案解析复数z(a2)(a1)i对应的点的坐标为(a2，a1)，因为该点位于第二象限，所以解得1a2.由条件得|z|，因为1a2.所以|z|.二、解答题12若复数z(m2m2)(4m28m3)i(mR)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值范围解由题意得(m2m2)(4m28m3)i，对应的点位于第一象限，所以有所以所以即1m，故所求实数m的取值范围为.13已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点D对应的复数解方法一设D点对应的复数为xyi(x，yR)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，1)，C(2,1)，AC的中点为，BD的中点为.平行四边形对角线互相平分，即点D对应的复数为35i.方法二设D点对应的复数为xyi (x，yR)则对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，对应的复数为(2i)(i)22i，(x1)(y3)i22i.即点D对应的复数为35i.三、探究与拓展14若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为_答案2解析设zxyi(x，yR)，则zixyiix(y1)i，|zi|，由|zi|知，x2(y1)22.复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，所求图形的面积S2.15在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.(1)求，对应的复数；(2)判断ABC的形状；(3)求ABC的面积解(1)对应的复数为zBzA(2i)11i；对应的复数为zCzB(12i)(2i)3i；对应的复数为zCzA(12i)122i.(2)由(1)知|1i|，|3i|，|22i|2，|2|2|2.故ABC为直角三角形(3)SABC|22.
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