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2.1211&212曲线与方程求曲线的方程预习课本P3436，思考并完成以下问题1曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？2求曲线方程的一般步骤是什么？1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求曲线的方程的步骤1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是k()(2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)0()(3)以A(0,1)，B(1,0)，C(1,0)为顶点的ABC的BC边上中线的方程是x0()答案：(1)(2)(3)2下列各组方程中表示相同曲线的是()Ax2y0与xy0B0与x2y20Cyx与y Dxy0与ylg 10x答案：D3动点P到点(1，2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为()A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)29C(x1)2(y2)23 D(x1)2(y2)23答案：B4若点P(2，3)在曲线x2ky21上，则实数k_答案：曲线的方程与方程的曲线的概念典例分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解；但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5；但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则活学活用命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程f(x，y)0的曲线是CB方程f(x，y)0的曲线不一定是CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上解析：选B“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，但“以方程f(x，y)0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确曲线与方程的判定问题典例下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)0；(2)2x2y24x2y30解(1)由方程(xy1)0可得或即xy10(x1)或x1故方程表示一条射线xy10(x1)和一条直线x1(2)对方程左边配方得2(x1)2(y1)202(x1)20，(y1)20，解得从而方程表示的图形是一个点(1，1)判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想活学活用已知方程x2(y1)210(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值解：(1)12(21)210，()2(31)2610，点P在方程x2(y1)210表示的曲线上，点Q不在方程x2(y1)210表示的曲线上(2)因为x，ym适合方程x2(y1)210，即2(m1)210，解得m2或m所以m的值为2或求曲线的方程 典例已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程解法一直接法如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以OQC90设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即x2y2x2(y3)29，所以OP的中点Q的轨迹方程为x22(去掉原点)法二定义法如图所示，因为Q是OP的中点，所以OQC90，则Q在以OC为直径的圆上故Q点的轨迹方程为x22(去掉原点)法三代入法设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意得即又因为x(y13)29，所以4x2429，即x22(去掉原点)直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视活学活用过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解：法一：设点M的坐标为(x，y)M为线段AB的中点A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)l1，l2均过点P(2,4)，且l1l2，PAPB，当x1时，kPAkPB1而kPA，kPB，1，整理，得x2y50(x1)当x1时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50，综上所述，点M的轨迹方程是x2y50法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PMl1l2，2|PM|AB|而|PM|，|AB|，2 化简，得x2y50，即为所求轨迹方程层级一学业水平达标1已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)()A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上解析：选B将点M(2,1)的坐标代入方程知Ml，MC2方程xy2x2y2x所表示的曲线()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称 D关于xy0对称解析：选C同时以x代替x，以y代替y，方程不变，所以方程xy2x2y2x所表示的曲线关于原点对称3方程x|y1|0表示的曲线是()解析：选B方程x|y1|0可化为|y1|x0，则x0，因此选B4已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：选B设点P的坐标为(x，y)，则(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|4，|，4(x2)根据已知条件得4 4(2x)整理得y28x点P的轨迹方程为y28x5已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y240解析：选B由两点式，得直线AB的方程是，即4x3y40，线段AB的长度|AB|5设C的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4x3y2406方程x22y24x8y120表示的图形为_解析：对方程左边配方得(x2)22(y2)20(x2)20,2(y2)20，解得从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)7已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P满足12，则点P的轨迹方程为_解析：设P(x，y)，则(2x，y)，(2x，y)于是(2x)(2x)y212，化简得x2y216，此即为所求点P的轨迹方程答案：x2y2168已知点A(0，1)，当点B在曲线y2x21上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是_解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y02x1又M为AB的中点，所以即将其代入y02x1得，2y12(2x)21，即y4x2答案：y4x29在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PMy轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且4，求动点P的轨迹方程解：由已知得M(0，y)，N(x，y)，则(x，2y)，故(x，y)(x，2y)x22y2，依题意知，x22y24，因此动点P的轨迹方程为x22y2410已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y00)，则点N的坐标为(0，y0)因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，则x0x，y0又点M在圆C上，所以xy4，即x24(y0)所以动点Q的轨迹方程是1(y0)层级二应试能力达标1已知点O(0,0)，A(1，2)，动点P满足|PA|3|PO|，则点P的轨迹方程是()A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50解析：选A设动点P(x，y)，则由|PA|3|PO|，得3化简，得8x28y22x4y50故选A2下列四组方程表示同一条曲线的是()Ay2x与yBylg x2与y2lg xC1与lg(y1)lg(x2)Dx2y21与|y|解析：选D根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是1,1，且化简后的解析式相同，所以D正确故选D3方程y对应的曲线是()解析：选A将y平方得x2y24(y0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A4已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为()ABC或D或解析：选C将点P的坐标代入曲线(x2)2y23中，得(cos 2)2sin23，解得cos 又02，所以或故选C5方程|x1|y1|1表示的曲线所围成的图形的面积是_解析：方程|x1|y1|1可写成或或或其图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2答案：26给出下列结论：方程1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y2；方程(x24)2(y24)20表示四个点其中正确结论的序号是_解析：对于，方程1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线且除掉点(2,0)，所以错误；对于，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y2或y2，所以错误；对于，方程(x24)2(y4)20表示点(2,2)，(2，2)，(2，2)，(2,2)四个点，所以正确故填答案：7已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|4，点A到直线l的距离为3，求ABC外心的轨迹方程解：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)设ABC的外心为P(x，y)，因为点P在线段BC的垂直平分线上，所以不妨令B(x2,0)，C(x2,0)又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|PB|，即，化简得x26y50于是ABC外心的轨迹方程为x26y508已知两点P(2,2)，Q(0,2)以及一条直线l：yx，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程解：设A(m，m)，B(m1，m1)，当m2且m1时，直线PA和QB的方程分别为y(x2)2和yx2由消去m，得x2y22x2y80当m2时，直线PA和QB的方程分别为x2和y3x2，其交点为(2，4)，满足方程x2y22x2y80当m1时，直线PA和QB的方程分别为y3x4和x0，其交点为(0，4)，满足方程x2y22x2y80综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2y22x2y80
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