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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系(重点)2.能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容预测2020年高考将会考查：直线与圆位置关系的判断及应用；直线与圆相交时弦长问题；利用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题型此外也不要忽略在解答题中出现的可能性.1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)3必记结论当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.(2)两个圆系方程过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)(3)弦长公式|AB|xAxB|.1概念辨析(1)“k2”是“直线xyk0与圆x2y22相切”的必要不充分条件()(2)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)直线xy10与圆x2y21的位置关系为()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案B解析圆心(0,0)到直线xy10的距离d，而01.故选B.(2)已知直线l：yk(x)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k()A0BC.或0D或0答案D解析因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d1，解得k0或k.故选D.(3)圆x2y24与圆x2y24x4y120的公共弦所在的直线方程为_答案xy20解析由得4x4y80，即xy20.(4)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_答案解析圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.题型 直线与圆的位置关系1直线kxy2k0与圆x2y22x80的位置关系为()A相交或相切或相离B相交或相切C相交D相切答案C解析解法一：直线kxy2k0的方程可化为k(x1)(y2)0，恒过定点(1,2)，因为12222180，所以点(1,2)在圆x2y22x80的内部，所以直线kxy2k0与圆x2y22x80相交解法二：圆的方程可化为(x1)2y232，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kxy2k0的距离为0.所以直线kxy2k0与圆x2y22x80相交2若直线l：xym0与圆C：x2y24x2y10恒有公共点，则m的取值范围是()A，B2，2C1，1D21,21答案D解析解法一：由消去y整理得2x2(2m6)xm22m10.由(2m6)242(m22m1)4(m22m7)0，解得21m21.解法二：圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.圆心坐标为(2,1)，半径r2.由题意得圆心到直线xym0的距离d2，解得21m21.3圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于2的点有()A1个B2个C3个D4个答案B解析圆(x3)2(y3)29的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x4y110的距离d2，圆上到直线3x4y110的距离为2的点有2个故选B.判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断见举例说明(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交如举例说明1解法一上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 1已知ABC的三边长为a，b，c，满足直线axby2c0与圆x2y24相离，则ABC是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上情况都有可能答案C解析直线axby2c0与圆x2y24相离，圆心到直线的距离2，即c2a2b2.故ABC是钝角三角形故选C.2直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A(，2)B(，3)C.D答案D解析当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d1，解得m(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m.故选D.题型 圆与圆的位置关系1(2017合肥模拟)已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为()A.BCD2答案C解析由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)29，根据基本不等式可知ab2，当且仅当ab时等号成立故选C.2已知圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长解(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|d3，所以(ab)29，即ab3或ab1，所以直线xy10与圆(xa)2(yb)21相离判断圆与圆的位置关系的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|.(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论 1圆心为(2,0)的圆C与圆x2y24x6y40相外切，则C的方程为()Ax2y24x20Bx2y24x20Cx2y24x0Dx2y24x0答案D解析圆x2y24x6y40的圆心为M(2,3)，半径r3，|CM|5，圆C的半径为532，圆C的标准方程为(x2)2y24，即x2y24x0.2若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_.答案1解析两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y，如图，由已知得|AC|，|OA|2，|OC|1，a1.题型 直线与圆的综合问题角度1直线与圆的相切问题1已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程：(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1)解(1)设切线方程为xyb0(b4)，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.角度2与圆有关的弦长问题2(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.答案4解析由题意可知直线l过定点(3，)，该定点在圆x2y212上，不妨设点A(3，)，由于|AB|2，r2，所以圆心到直线AB的距离为d 3，又由点到直线的距离公式可得d，所以3，解得m，所以直线l的斜率km，即直线l的倾斜角为30.如图，过点C作CHBD，垂足为H，所以|CH|2，在RtCHD中，HCD30，所以|CD|4.1求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为yy0；若k0，则结合图形可直接写出切线方程为xx0；若k存在且k0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出3求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|2.(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则|AB| |x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在) 1若直线ykx1与圆x2y21相交于P，Q两点，且POQ120(其中O为原点)，则k的值为()A或BC或D答案A解析由题意可得圆心O到直线ykx1的距离等于，所以，解得k.故选A.2由直线yx1上的一点向圆C：x26xy280引切线，则切线长的最小值为()A1B2CD3答案C解析解法一：切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d2，圆的半径长为r1，故切线长的最小值为.解法二：易知P(m，m1)在直线yx1上，由切线长公式得|PC| ，由mR可得|PC|min.3已知在圆M：x2y24x2y0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A3B6C4D2答案D解析圆x2y24x2y0可化为(x2)2(y1)25，圆心M(2，1)，半径r，最长弦为圆的直径，AC2.BD为最短弦，AC与BD垂直，易求得ME，BD2BE22.S四边形ABCDSABDSBDCBDEABDECBD(EAEC)BDAC222.故选D.
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