资源描述
第10讲直线与圆1.(2018泰州中学高三月考)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.2.(2018如东高级中学高三上学期期中)若圆C:x2+y2+2x+2y-7=0关于直线ax+by+4=0对称,由点P(a,b)向圆C作切线,切点为A,则线段PA的最小值为.3.(2017兴化第一中学高三月考)已知直线l:mx+y+3m+3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点.若AB=23,则实数m的值为.4.(2018南通中学高三考前冲刺练习)在平面直角坐标系xOy中,直线ax+y-2a=0与圆x2+y2=1交于A,B两点,若弦AB中点的横坐标为25,则实数a的取值集合为.5.(2018高考数学模拟(2)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x+2y=0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=5相切,且圆心C在直线l的上方,则ab的最大值为.6.(2018徐州铜山高三第三次模拟)已知圆O:x2+y2=r2(r0)及圆上的点A(-r,0),过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C.若AB=2BC,则直线l的斜率为.7.(2018扬州中学高三下学期开学考试)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+(y-3)2=3相交于点R,S,且PT=RS,则正数a的值为.8.(2018海安高级中学高三月考)已知A,B是圆C:x2+y2=1上的动点,AB=2,P是直线x+y-2=0上的动点,则|PA+PB|的最小值为.9.(2018南通高考数学冲刺小练(36)若半径为r的圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心C到直线l:Dx+Ey+F=0的距离为d,其中D2+E2=F2,且F0.(1)求F的取值范围;(2)求证:d2-r2为定值;(3)是否存在定圆M,使得圆M既与直线l相切又与圆C相离?若存在,请求出定圆M的方程,并给出证明;若不存在,请说明理由.10.(2018兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校联考)已知圆O:x2+y2=1与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B.(1)若过点C12,32的直线l被圆O截得的弦长为3,求直线的方程;(2)若在以B为圆心,r为半径的圆上存在点P,使得PA=2PO(O为坐标原点),求r的取值范围;(3)设M(x1,y1),Q(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x轴的对称点为M2,如果直线QM1,QM2与y轴分别交于点(0,m)和(0,n),问mn是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.答案精解精析1.答案(x-2)2+y+322=254解析由题意知,圆心在直线x=2上,且圆C与直线y=1相切,设圆心坐标为(2,b),则4+b2=|b-1|.解得b=-32.所以圆C的半径为52,圆C的方程为(x-2)2+y+322=254.2.答案3解析圆C:x2+y2+2x+2y-7=0可化为(x+1)2+(y+1)2=9,其圆心坐标为C(-1,-1),半径r=3.由题意得,圆心C(-1,-1)在直线ax+by+4=0上,则a+b=4,即点P(a,b)在直线x+y=4上,圆心C到该直线的距离d=62=32.所以切线长PA的最小值为d2-r2=18-9=3.3.答案33解析由AB=23,得ABO是正三角形,则圆心O到直线l的距离d=32AB=3.所以|3m+3|m2+1=3,解得m=33.4.答案-12,12解析易得弦AB的中点C25,8a5与圆心O的连线与弦AB垂直,则kockAB=-1,即4a(-a)=-1,解得a=12.故实数a的取值集合为-12,12.5.答案258解析因为直线l:x+2y=0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=5相切,所以|a+2b|5=5.又因为圆心C在直线l的上方,所以a+2b0.所以a+2b=5.又a+2b=522ab,所以ab的最大值为258,当且仅当a=2b=52时,等号成立.6.答案33或3解析过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,AB=2BC,则AB=2BC或AB=-2BC,则Cr2,32或C-r2,12.由点C在圆O:x2+y2=r2(r0)上,得r24+94=r2,r=3,或r24+14=r2,r=33.故A(-3,0)或A-33,0,则直线l的斜率,即直线AB的斜率为33或3.7.答案4解析易得PT=4-1=3,且PT的方程为y=33(x+2),设圆(x-a)2+(y-3)2=3的圆心(a,3)到直线PT的距离为d,则RS=3=23-d2.所以d=32.所以|a-1|2=32,或|a+5|2=32.又a为正数,则a=4.8.答案2解析取AB的中点D,由AB=2易得CD=22,即点D在圆x2+y2=12上.圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离为2,则|PA+PB|=2|PD|22-22=2.故最小值是2.9.解析(1)因为D2+E24F,D2+E2=F2,且F0,所以F24F,且F0,解得F4.(2)易得圆C的圆心C-D2,-E2,半径r=D2+E2-4F2=F2-4F2,圆心C-D2,-E2到直线l:Dx+Ey+F=0的距离d=D-D2+E-E2+FD2+E2=F-22.所以d2-r2=F-222-F2-4F22=1.(3)存在定圆M:x2+y2=1满足题意,证明:因为O(0,0)到直线l的距离为|F|D2+E2=1=r,所以圆M与直线l相切;因为|MC|=-D22+-E22=F2,r+1=F2-4F2+1,而F2F2-4F2+1F2-12F2-4F440,故|MC|r+1.所以圆M与圆C相离.由得,存在定圆M:x2+y2=1满足题意.10.解析(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=12,符合题意.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-32=kx-12,即2kx-2y-k+3=0.点O到直线l的距离d=|-k+3|(2k)2+(-2)2.直线l被圆O截得的弦长为3,d2+322=1.|-k+3|(2k)2+(-2)2=12,解得k=33,此时直线l的方程为x-3y+1=0.所求直线l的方程为x=12或x-3y+1=0.(2)设点P的坐标为(x,y),由题意,易得点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,1).由PA=2PO,可得(x+1)2+y2=2x2+y2,化简可得(x-1)2+y2=2.点P在圆B上,|r-2|(1-0)2+(0-1)2r+2.又r0,0r22.所求r的取值范围是0r22.(3)M(x1,y1),则M1(-x1,-y1),M2(x1,-y1).直线QM1的方程为y+y1=y2+y1x2+x1(x+x1).令x=0,则m=x1y2-x2y1x1+x2.同理可得n=x1y2+x2y1x1-x2.mn=x1y2-x2y1x1+x2x1y2+x2y1x1-x2=(x1y2)2-(x2y1)2x12-x22=x12(1-x22)-x22(1-x12)x12-x22=1.mn为定值1.
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