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第6课时全称命题和特称命题的应用基础达标(水平一 )1.已知命题p:x0(-,0),2x03x0,命题q:x0,2,cos x1,则下列命题为真命题的是().A.pqB.p(q)C.(p)qD.p(q)【解析】当x03x0,所以不存在x0(-,0),使得2x03x0成立,即p为假命题.显然x0,2,恒有cos x0的充分必要条件是().A.A0,6B.A0,3 C.A0,2D.A6,2【解析】对于xR,都有y0,则cosA0,=16sin2A-24cosA12.因为A为三角形的一个内角,所以0A3.【答案】B3.已知命题p:对xR,m0R,使4x+2xm0+1=0.若命题p是假命题,则实数m0的取值范围是().A.-2,2B.2,+)C.(-,-2D.-2,+)【解析】因为p为假命题,所以p为真命题,即求原命题为真命题时m0的取值范围.由4x+2xm0+1=0,得-m0=4x+12x=2x+12x2,所以m0-2.【答案】C4.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得AC,BUC”是“AB=”的().A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若存在集合C,使得AC,BUC,则可以推出AB=;若AB=,由Venn图(如图)可知,存在A=C同时满足AC,BUC.故“存在集合C,使得AC,BUC”是“AB=”的充要条件.【答案】A5.已知命题p:x0,1,aex,命题q:xR,x2-a0,若命题pq是真命题,则实数a的取值范围是.【解析】若pq是真命题,则p是真命题,q是真命题.若命题p:x0,1,aex是真命题,则a(ex)max=e;若命题q:xR,x2-a0是真命题,则a(x2)min=0.所以a0.【答案】(-,0 6.设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.有下列三个函数:f(x)=1x;f(x)=lg(x2+2);f(x)=cos x.其中属于集合M的函数是 .(写出所有满足要求的函数的序号)【解析】对于,方程1x+1=1x+1,显然无实数解;对于,方程lg(x+1)2+2=lg(x2+2)+lg 3,显然也无实数解;对于,方程cos(x+1)=cos x+cos ,即cos x=12,显然存在x0使等式成立.故填.【答案】7.已知命题p:x1,2,x2-a0,命题q:x0R,x02+2ax0+2-a=0,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.【解析】由“p且q”为真命题,知p为真命题,q也为真命题.若p为真命题,则ax2对于x1,2恒成立,所以a1.若q为真命题,则关于x的方程x2+2ax+2-a=0有实根,所以=4a2-4(2-a)0,解得a1或a-2.综上,实数a的取值范围为a-2或a=1.拓展提升(水平二)8.下列有关命题的说法正确的是().A.命题“若x2=4,则x=2”的否命题为“若x2=4,则x2”B.命题“x0R,x02+2x0-10”C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D.若“p或q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题 【解析】命题“若x2=4,则x=2”的否命题应该为“若x24,则x2”,故A错误;特称命题“x0R,x02+2x0-10”的否定是“xR,x2+2x-10”,故B错误;命题“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,它的逆否命题必为真命题,故C错误;若“p或q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,故D正确.【答案】D9.若命题“xR,x2+px+10”的否定是真命题,则化简p2-4p+4+p2+4p+4的结果是().A.4B.-4 C.2pD.-2p【解析】命题“xR,x2+px+10,y=(3-c)x在R上为减函数,命题q:xR,x2+2c-30.若“pq”为真命题,则实数c的取值范围为.【解析】因为“pq”为真命题,所以p,q都是真命题,所以03-c0,解得2c0,命题p:定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,且xln12,2,2f(x)ex+m恒成立;命题q:函数y=logmx在其定义域上为减函数.如果pq为假命题,pq为真命题,求实数m的取值范围.【解析】当命题p为真时,定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,将其中的x换为-x,可得f(-x)+g(-x)=e-x,即f(x)-g(x)=e-x,由可得f(x)=ex+e-x2,则要使2f(x)2f(x)-ex=e-x恒成立,即m(e-x)max.又因为函数y=e-x在ln12,2上为减函数,所以(e-x)max=e-ln 12=2,所以m2.若命题q为真,则0m2,m1,解得m2;当p假q真时,0m2,0m1,解得0m1.综上可知,实数m的取值范围为(0,1)(2,+).
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