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2 导数在实际问题中的应用21实际问题中导数的意义 某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为WW(t)t34t210t.问题1：t从1 s到4 s时，功W关于时间t的平均变化率是多少？提示：11(J/s)问题2：上述问题的实际意义是什么？提示：它表示从t1 s到t4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.问题3：W(1)的实际意义是什么？提示：W(t)3t28t10，W(1)5.表示此人在t1s时每秒做功为5 J.实际问题中导数的意义1功关于时间的导数是功率2降雨量关于时间的导数是降雨强度3生产成本关于产量的导数是边际成本4路程关于时间的导数是速度速度关于时间的导数是加速度5质量关于长度的导数是线密度在日常生活中，有许多需要用导数概念来理解的量如物理学中，速度是路程关于时间的导数，功率是功关于时间的导数解决这些问题，要在阅读材料、理解题意的基础上，利用数学知识对模型进行分析，得到数学结论，然后再用数学结论解释实际问题 导数在物理学中的应用例1把原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0x8)(1)分别计算当x从0变到1，从2变到3时，原油温度y关于时间x的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；(2)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义思路点拨(1)平均变化率即为.(2)可利用导数公式求出y，再分别求当x2,6时的导数值精解详析(1)由题意得f(0)15，f(1)9，当x从0变到1时，原油温度平均变化率为6(/h)，表示从0到1这一小时内，原油温度平均每小时降低6.又f(2)5，f(3)3，当x从2变到3时，原油温度平均变化率为2(/h)，表示从2到3这一小时内，原油温度平均每小时降低2.60)(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为_；(2)f(100)_，其实际意义为_解析：(1)f(100)1 010.3，f(200)4 020.3，30.1(万元/m)即平均变化率为30.1万元/m.(2)f(x)(2x1)，f(100)20.1(万元/m)，即当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元答案：(1)30.1万元(2)20.1万元/m当长度为100 m时， 每增加1 m的长度成本就增加20.1万元6日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80x0，即f(x)在3,4为增函数，当x3时，f(x)取最小值f(3)3；当x4时，f(x)取最大值f(4)45.(2)f(x)3x23，令f(x)0，得x1.而f(1)2，f(1)2，f()0，f()0，x1时，f(x)取最大值f(1)2；x1时，f(x)取最小值f(1)2.与最值有关的恒成立问题例2设f(x)x3x22x5.(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间；(2)当x1,2时，f(x)0，f(x)为增加的；当x时，f(x)0，f(x)为增加的所以f(x)的递增区间为和(1，)，f(x)的递减区间为.(2)当x1,2时，f(x)7，即m的取值范围为(7，)一点通解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使mf(x)恒成立，只需mf(x)的最大值即可，同理，要使mf(x)恒成立，只需m0，解得x，令f(x)0，解得0x1时，g(x)0，g(x)在1，)上是增加的，所以g(x)的最小值为g(1)1.则a1.故a的取值范围是(，1.面积、体积(容积)的最值问题例3某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园已知ABBC，OABC，且|AB|BC|4 km，|AO|2 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段如果要使矩形的两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，应如何规划才能使矩形工业园的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2)思路点拨建立坐标系，求出OC所在抛物线的方程，用P(在OC上)的坐标表示矩形的面积，再求最大值精解详析以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，依题意可设抛物线的方程为x22py(p0)，且过点C(2,4)，所以222p4，解得p.故曲线段OC的方程为yx2(0x2)设p(x，x2)(0x0，S是增加的；当x时，S0,3.22x0，得0x1.6.容器的体积为yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)y6x24.4x1.6，令y0，得15x211x40.x11，x2(不合题意，舍去)当0x0，当1x1.6时，y1在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1C(1，) D1，)解析：f(x)axln x，f(x)1在(1，)内恒成立，a在(1，)内恒成立设g(x)，x(1，)时，g(x)0，即g(x)在(1，)上是减少的，g(x)0或f(x)0)，令f(x)0，得x.f(x)的单调递增区间为.答案：C3已知对任意实数x，有f(x)f(x)，且x0时，f(x)0，则x0时()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 D无法确定解析：因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数又x0时，f(x)0，故f(x)在x0时为增加的，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x0时，f(x)为减少的答案：B4设函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)在R上为增加的充要条件是()Ab24ac0 Bb0，c0Cb0，c0 Db23ac0解析：要使f(x)在R上为增加的，则f(x)3ax22bxc0在R上恒成立(但f(x)不恒等于零)，故只需4b212ac0，即b23ac0.答案：D5若函数f(x)在(0，)上可导，且满足f(x)xf(x)，则一定有()A函数F(x)在(0，)上为增加的B函数F(x)在(0，)上为减少的C函数G(x)xf(x)在(0，)上为增加的D函数G(x)xf(x)在(0，)上为减少的解析：设yxf(x)，则yxf(x)f(x)0，故yxf(x)在(0，)上为增加的答案：C6函数y2x33x212x5在0,3上的最大值与最小值分别是()A5，15 B5,4C4，15 D5，16解析：y6x26x12，令y0，得x1,2，又f(2)15，f(0)5，f(3)4，最大值、最小值分别是5，15.答案：A7函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3处取得极值，则a()A2 B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，又f(x)在x3处取得极值，f(3)306a0.得a5.答案：D8把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4x) cm，两个三角形的面积和为Sx2(4x)2x22x4(0x4)令Sx20，则x2，且x2时，S0,2x0.所以x2时，S取最小值2.答案：D9设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为yf(x)的图像的是()解析：f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，又x1为函数f(x)ex的一个极值点，f(1)f(1)0，而选项D中f(1)0，f(1)0，故D中图像不可能为yf(x)的图像答案：D10某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则最大毛利润(毛利润销售收入进货支出)为()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0.即4a2120，a23a20，a2或a0，所以不存在实数a，使得f(x)是(，)上的单调函数16(本小题满分12分)已知f(x)ax3bx22xc在x2时有极大值6，在x1时有极小值，求a，b，c的值；并求f(x)在区间3,3上的最大值和最小值解：(1)f(x)3ax22bx2，由条件知解得a，b，c.(2)f(x)x3x22x，f(x)x2x2(x1)(x2)列表如下：x3(3，2)2(2,1)1(1,3)3f(x)00f(x)6由上表知，在区间3,3上，当x3时，f(x)取最大值，x1时，f(x)取最小值.17(本小题满分12分)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)当a时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围解：(1)当a时，f(x)x33x23x1.f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.当x( ， 1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上是增加的；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1，1)上是减少的；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增加的(2)要使x2，)时，f(x)0恒成立，只需x2，)时，f(x)min0即可由于f(x)3(x22ax1)3(xa)21a2，当a21时，f(x)0且不恒为零，所以f(x)在2，)上的最小值为f(2)；当a21时，由f(x)0可得xa，记x1a，x2a.结合二次函数的性质易知，当x(，x1)(x2，)时，f(x)0，当x(x1，x2)时，f(x)0.所以f(x)在(，x1)和(x2，)上是增加的，在(x1，x2)上是减少的而由x1x20知x22，即f(x)在2，)上是增加的，故此时也有f(x)minf(2)综上可知，f(x)在2，)上的最小值为f(2)3(4a5)，由f(2)0，得a，故a的取值范围为.18(本小题满分12分)已知函数f(x)x2aln x，aR.(1)若a2，求这个函数的图像在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间1，e上的最小值解：(1)a2时，f(x)x22ln x，f(1)，f(x)x，f(1)1，所以切线方程为y(x1)，即2x2y30.(2)依题意，x0，f(x)x(x2a)，当a1时，因为x1，e，1x2e2，所以f(x)0(当且仅当xa1时等号成立)，所以f(x)在区间1，e上是增加的，最小值为f(1).当ae2时，因为1x2e2，所以f(x)0(当且仅当xe，ae2时等号成立)，所以f(x)在区间1，e上是减少的，最小值为f(e)e2a.当1ae2时，解f(x)(x2a)0得x(负值舍去)，f(x)的符号和f(x)的单调性如下表：x1，)(，ef(x)0f(x)最小值故f(x)在区间1，e上的最小值为f()aa ln a.综上所述，a1时，f(x)的最小值为f(1)；1ae2时，f(x)的最小值为f()aaln a；ae2时，f(x)的最小值为f(e)e2a.
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