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第1课时抛物线的几何性质学习目标1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)1椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形()2抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关()3抛物线只有一条对称轴和一个顶点()4抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关()题型一由抛物线的几何性质求标准方程例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F.直线l：x，所以A，B两点坐标为，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2答案B解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以点A的坐标为(2p,2p)，同理可得B(2p，2p)，所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.反思感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程解椭圆1的短轴所在直线为x轴，抛物线的对称轴为x轴设抛物线的方程为y2ax(a0)，设5，a20.抛物线的方程为y220x或y220x.题型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y. 联立消去y，得x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25.而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.引申探究本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求A1FB1.解由抛物线定义|AA1|AF|，得AA1FAFA1，又AA1x轴，OFA1AA1F，OFA1AFA1，同理得OFB1BFB1，A1FOB1FO90，即A1FB190.反思感悟(1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点若抛物线y22px(p0)，则|PF|x0；若抛物线y22px(p0)，则|PF|x0；若抛物线x22py(p0)，则|PF|y0；若抛物线x22py(p0)，则|PF|y0(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可跟踪训练2直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_答案xy10或xy10解析因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意所以可设所求直线l的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，则由根与系数的关系，得x1x2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p28，即6，解得k1.所以所求直线l的方程为xy10或xy10.1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y答案C解析设抛物线y22px或y22px(p0)，p4.2若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.B.C.D.答案B解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为，故选B.3已知过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为_答案10解析由y28x，得p4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦点弦公式得|AB|x1x2p2423410.4对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)符合抛物线方程为y210x的条件是_(要求填写合适条件的序号)答案解析由抛物线方程y210x，知它的焦点在x轴上，所以符合又因为它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPOkPF1，所以也符合而显然不符合，通过计算可知，不合题意所以应填.5求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x29y2144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴解(1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故4，p8.因此，所求抛物线的标准方程为y216x或x216y.(2)双曲线方程16x29y2144化为标准形式为1，中心为原点，左顶点为(3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x3.由题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，可得3，故p6.因此，所求抛物线的标准方程为y212x.1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解3设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论一、选择题1抛物线yax2(a0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|10，则抛物线方程是()Ay24xBy22xCy28xDy26x答案C解析设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则3，即x1x26.又|PQ|x1x2p10，即p4，抛物线方程为y28x.5已知抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，点A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4B8C8D16答案B解析抛物线y28x的准线为x2，焦点F(2,0)，设A(2，y0)，kAF，则y04，P(x0,4)，将P点坐标代入抛物线方程y28x，(4)28x0，得x06.由抛物线定义可知|PF|PA|x068.6设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|等于()A.B6C12D7答案C解析设A，B的坐标分别为(x1，y1，)(x2，y2)F为抛物线C：y23x的焦点，F，AB的方程为y0tan30，即yx.联立消去y，得x2x0.x1x2，由于|AB|x1x2p，|AB|12.7直线yxb交抛物线yx2于A，B两点，O为抛物线顶点，OAOB，则b的值为()A1B0C1D2考点题点答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将yxb代入yx2，化简可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b，所以y1y2x1x2b(x1x2)b2b2.又OAOB，所以x1x2y1y20，即2bb20，则b2或b0，经检验当b0时，不符合题意，故b2.二、填空题8设抛物线y216x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|_.答案13解析设P(x,12)，代入y216x，得x9，|PF|x9413.9抛物线yx2的焦点与双曲线1的上焦点重合，则m_.答案13解析抛物线yx2可化为x216y，则其焦点为(0,4)，3m16，则m13.10抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|3，则|BF|_.答案解析由题意知F(1,0)，且AB与x轴不垂直，则由|AF|3，知xA2.设lAB：yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以xAxB1，故xB，故|BF|xB1.11一个正三角形的顶点都在抛物线y24x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是_答案48解析设一个顶点为(x,2)，则tan30，x12.S12848.三、解答题12若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程解设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，A(x0，y0)，由题知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0得82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.13已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)(x0)，则|PA|22y222x2.x0，且在此区间上函数单调递增，故当x0时，|PA|min，故距点A最近的点P的坐标为(0,0)(2)设点P(x0，y0)是y22x上任一点，则P到直线xy30的距离为d，当y01时，dmin，点P的坐标为.14设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，点F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析M到准线的距离大于p，即y024，y02.15设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且2，0.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且|，|，|成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求点B的坐标解(1)设N(x，y)，由2，得点P为线段MN的中点，P，M(x,0)，.由x0，得y24x.即点N的轨迹方程为y24x.(2)由抛物线的定义，知|AF|x11，|BF|x21，|DF|x31，|，|，|成等差数列，2x22x11x31，即x2.线段AD的中点为，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)，线段AD的垂直平分线的斜率为k.又kAD，1，即1.x1x3，x1x32，又x2，x21.点B在抛物线上，B(1,2)或B(1，2)
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