资源描述
解答题滚动练51.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，CD4，PAABBCAD2，Q为棱PC上的一点，且PQPC.(1)证明：平面QBD平面ABCD；(2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值方法一(1)证明连接AC与BD交于点O，连接QO，则由ABOCDO，得AOAC，由于PQPC，则有QOPA，由PA平面ABCD，有QO平面ABCD，又QO平面QBD，所以平面QBD平面ABCD.(2)解过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则DQH即为所求的线面角，设DHh，因为VQBCDVDBCQ，即SBCDQOSBCQh代入有2h，解得h，又因为QD2QO2OD2，所以QD，所以sin.方法二(1)证明以A为原点，分别以射线AB，AP为x，z轴的正半轴，在平面ABCD内过A作AB的垂线，垂线所在射线为y轴，建立空间直角坐标系Axyz，由题意知各点坐标如下：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，0)，D(1，0)，P(0,0,2)，Q，因此(3，0)，设平面QBD的一个法向量为n1，平面ABCD的一个法向量为n2，则取n1(1，0)，同理可取n2(0,0,1)，所以n1n20，所以平面QBD平面ABCD(2)解设QD与平面PBC所成角为，(2,0，2)，(3，2)，设平面PBC的一个法向量为n，则取n，所以sin|cos，n|.所以QD与平面PBC所成角的正弦值为.2已知函数f(x)(t1)lnxtx23t，tR.(1)若t0，求证：当x0时，f(x1)xx2；(2)若f(x)4x对任意x1，)恒成立，求t的取值范围(1)证明当t0时，f(x)lnx，f(x1)ln(x1)，即证ln(x1)xx2.令g(x)ln(x1)x2x(x0)，则g(x)x10，从而函数g(x)在x0，)上单调递增，g(x)g(0)0，即当x0时，f(x1)xx2.(2)解由(1)知，当x0时，ln(x1)xx2，则当x1，即x10时，lnxln(x1)1(x1)(x1)2x22x.若t1，则当x1时，(t1)lnxtx23t01，则当x1时，f(x)4x(t1)lnxtx24x3t(t1)tx24x3t(x24x3)，从而当f(x)4x恒成立时，t1.综上，满足题意的t的取值范围为1，)3已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，抛物线E：y24x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆C于点A，B，l2交椭圆C于点G，H，若|AF|是|AH|FH|与|AH|FH|的等比中项，求|AF|FB|GF|FH|的最小值解(1)依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0)，即c1，又e，a2，b23，故椭圆C的标准方程为1.(2)|AF|是|AH|FH|与|AH|FH|的等比中项，|AF|2|AH|2|FH|2，即|AF|2|FH|2|AH|2，直线l1l2.又直线l1，l2的斜率均存在，两直线的斜率都不为零，故可设直线l1：xky1(k0)，直线l2：xy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)由消去x，得(3k24)y26ky90，同理得|AF|FB|(1k2)|y1y2|，|GF|FH|y3y4|，|AF|FB|GF|FH|(1k2)|y1y2|y3y4|(1k2)9(1k2).又k20，k22，当且仅当k21时取等号，所求式子取最小值.故|AF|FB|GF|FH|的最小值为.4在数列an中，已知a1，an1，其中nN*.(1)求a2的值，并证明：anan1；(2)证明：an；(3)设Tn，求证：Tnn.证明(1)由题意得an0，a2.方法一1，所以an1an，当且仅当an1时取等号，又ana1，所以等号取不到所以an1an.方法二(作差法)因为an1anan0，所以an1an.(2)方法一(裂项求和法)由an1得即2.由(1)知an，所以3，于是2.又2(n1)32n1，故an.方法二(数学归纳法)当n1时，a1，当n2时，a2，假设当nk(k2)时，ak成立，则当nk1时，结合y2在(0，)上是增函数可知，ak1，所以当nk1时，ak1成立综上所述，an.(3)方法一由(2)知an，令bn1，则bn112a1成立；当n2时，nTnb1b2bnn.综上可知，Tnn.方法二由(1)知an，即3an1，所以an1，从而11，所以n1n1，所以，又nTn，所以nTnn.
展开阅读全文