（天津专版）2018年高考数学 母题题源系列 专题17 应用空间向量解决立体几何问题 理.doc

母题十七 应用空间向量解决立体几何问题【母题原题1】【2018天津，理17】如图，且AD=2BC，且EG=AD，且CD=2FG，DA=DC=DG=2（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；（II）求二面角的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长【考点分析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13分【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III）【解析】试题分析：依题意，可以建立以为原点，分别以，的方向为轴，轴，则点的坐标为，结合空间向量的结论计算可得线段的长为试题解析：依题意，可以建立以为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，（）依题意设为平面的法向量，则 即 不妨令，可得又，可得， 不妨令，可得因此有，于是所以，二面角的正弦值为（）设线段的长为，则点的坐标为，可得易知，为平面的一个法向量，故，由题意，可得，解得所以线段的长为【名师点睛】本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力【母题原题2】【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 或试题解析：如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）（）证明：=（0，2，0），=（2，0，）设，为平面BDE的法向量，则，即不妨设，可得又=（1，2，），可得平面BDE，MN/平面BDE（）易知为平面CEM的一个法向量设为平面EMN的法向量，则线段AH的长为或【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易【母题原题3】【2016天津，理17】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）；（）（I）证法1：依题意，设为平面的法向量，则，即 不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以证法2：建立如上右图的坐标系来证（略）证法3：找到中点，连结，矩形，、是中点，是的中位线，且是正方形中心，且，四边形是平行四边形，面，面（II）解法1：易证，为平面的一个法向量依题意，设为平面的法向量，则，即 不妨设，可得因此有，于是，所以，二面角的正弦值为（III）解：由，得因为，所以，进而有，从而，因此所以，直线考点：利用空间向量解决立体几何问题【名师点睛】1利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题（1）a0，b0，abab0；（2）|a|；（3）cosa，b【母题原题4】【2015天津，理】如图，在四棱柱中，侧棱，且点M和N分别为的中点(I)求证：；(II)求二面角的正弦值；(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析； (II) ； (III) 【解析】别为和的中点，得(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，由此可得，又因为直线平面，所以平面(II)，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得，因此有，于是，所以二面角的正弦值为(III)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查空间想象能力，线面关系、面面关系、数形结合的思想等【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；一种是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，要求学生有良好的空间想象能力和立体几何素养【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：第一步：利用题意证得二面角为90即可 解决本问题有两种思路，一种是证明二面角的平面角为90，第二种方法是由线面垂直证明面面垂直，然后利用判断定理来证明结论，本题中中的结论适合用第一种方法来证明结论第二步：建立空间直角坐标系求解二面角的余弦值 解决第二问的关键是建立合适的空间直角坐标系，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合点的坐标求得平面的法向量，然后利用公式求得余弦值即可，注意余弦值的正负需要进行取舍【方法总结】（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面的法向量为，若平面上所选两条直线的方向向量分别为，则可列出方程组，s利用数量积为零解出的比值即可（二）空间向量可解决的立体几何问题（用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量）1判定类（1）线面平行： （2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直：2计算类：（1）两直线所成角： （2）线面角：（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1理念：先设再求先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标2解题关键：减少变量数量可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数总之：用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想（四）易错警示（1）两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求，但二者不完全相同，两异面直线所成角的取值范围是，而两向量所成角的取值范围是0，所以当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角（2）利用空间向量求直线与平面所成的角，注意是所求线面角的正弦值（3）求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角（4）用空间向量求解立体几何问题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范（5）将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易失分1【2018天津部分区二模】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】分析：（1）推导出，从而平面，进而，再证出，从由于底面为长方形，而，平面，平面，为的中点，平面，又，平面（2）由题意易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，可得，设，则有，设直线与平面所成角为，且由（1）知为平面的法向量设二面角为，则，所以二面角的余弦值为【名师点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题2【2018天津河东区二模】如图，在四棱锥中，PA底面ABCD，AD|BC，ADCD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点（1）求证：AM|平面PCD；（2）求证：平面ACM平面PAB；（3）若PC与平面ACM所成角为30，求PA的长【答案】（1）见解析（2）见解析（3） A（1，1，0），B（0，2，0），C（0，0，0），D（1，0，0），P（1，1，a）(a0)M（），=（1，1，a），=（1，0，0）设平面PCD法向量为，令，则=（0，a，-1），所以所以AM|平面PCD （2）=（1，1，0），设平面ACM法向量为， 令，则， 解得 ，所以PA的长为 【名师点睛】（1）本题主要考查空间平行垂直关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力、空间想象能力和转化能力（2）证明空间位置关系常用的有几何法和向量法，求空间的角常用的有几何体（找、作、证、指、求）和向量法3【2018天津河北区二模】如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，平面平面（I）求证：；（II）若M为中点，求证：平面；（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不存在这样的点P【解析】分析：（I）由，根据面面垂直的性质得到平面，从而可证明；（II）由平面平面，且平面平面平面 （II）在直三棱柱中，平面，又，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得， （III）由（II）可知平面的法向量设则若直线DP与平面所成的角为，则 解得 故不存在这样的点P，使得直线DP与平面所成的角为【名师点睛】本题主要考查利用空间向量的证明与求值，属于难题空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离4【2018天津十二校二模】如图，四边形与均为菱形，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）【解析】分析：（1）由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）先证明为等边三角形，可得，于是可以为坐标且为中点， 又，平面 （2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形，为中点，又，平面两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，四边形为菱形， ， 为等边三角形，令，得 所以 又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为 （3）设 所以 化简得解得：所以【名师点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及利用空间向量求二面角与线面角，属于难题空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离5【2018天津9校联考】如图，四棱锥中，底面是矩形，面面，且是边长为2的等边三角形， ， 在上，且面（1）求证： 是的中点；（2）求直线与所成角的正切值；（3）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析（2） （3） 【解析】试题分析：（1）连接AC交BD于E，连接ME，可得PA面MBD，且ME是平面PAC与平面MDB的交线，得PAME，即M是PC的中点；（2）取AD中点，由（1）知OA、OE、OP两两垂直，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所成角的余弦值，得到正弦值，进一步得到直线PA（1）证明：连交于，连是矩形，是中点又面，且是面与面的交线，是的中点（2）取中点，由（1）， ， 两两垂直以为原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为， ， ， ， ， （3）设存在满足要求，且，则由得，6【2018天津十二校模拟一】如图， 是边长为的正方形，平面平面， ， ， ， （1）求证：面面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由平面平面， 可推出，再根据是正方形，可推出平面，从而可证平面；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，设， ，求出平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求出试题解析：（1）证明：， ， ， （2）解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示，则， ， ， ， ， ， ， 设平面的法向量为， ，即， ，则 直线与平面所成角的正弦值为 （3）解：点在线段上，设， ，则， 解得： ， 此时 7【2018天津静海一中期末考】已知ABC为等腰直角三角形， ， ， 分别是边和的中点，现将沿折起，使平面， 分别是边和的中点，平面与， 分别交于， 两点（1）求证： ；（2）求二面角的余弦值； （3）求的长【答案】（1）见解析，（2） ；（3） 【解析】试题分析：（1）ED平面BCH，EDHI，又因为EDBC，所以IHBC；（2）建立空间直角坐标系，n1(1，1，1)，n2(0，1，2)，求出二面角；（3），由n20，解得，所以AGAF设平面AGI的法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z11，解得x11，y11，则n1(1，1，1)设平面CIG的法向量为n2(x2，y2，z2)，则令z22，解得y21，则n2(0，1，2)所以cosn1，n2，所以二面角AGIC的余弦值为（3）由（2）知，(3，1，2)，设(3，2)，01，则(0，0，1)(3，2)(3，21)，由n20，解得，故AGAF8【2018天津河西区三模】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，为的中点，点在侧棱上（1）求证：；（2）若是的中点，求二面角的余弦值；（3）若，当平面时，求的值【答案】（1）见解析；（2）；（3） 侧面底面， 平面平面 ， 底面， 底面是菱形， ，以为原点，分别以，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得， ， （2）由题意，设平面的一个法向量，右图可知，二面角为锐角，所以余弦值为（3） ，易得，设平面的一个法向量，由，即，取，得，又， 平面， ，即，得，所以当时，平面【名师点睛】本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力9【2018天津部分区期末考】在如图所示的几何体中， ， ， ， ， ，二面角的大小为（1）求证： 平面；（2）求平面与平面所成的角（锐角）的大小；（3）若为的中点，求直线与平面所成的角的大小【答案】（1）见解析；（2）；（3）（）若F为AB的中点，由（II）可得，进一步得到，由已知可得平面BDE的一个法向量为，由与所成角的余弦值的绝对值可得直线EF与平面BDE所成角的大小试题解析：（1）因为，则， ，所以为二面角的平面角，即， （2）由平面得， ，又，即， ， 两两垂直，则以， ， 分别为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示由（I）知， 则， ， ，由得， 依题意， ，设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，可得， 由平面可知平面的一个法向量为设平面与平面所成的角（锐角）为，所以，于是， 【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”10【2018天津一中期末考】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， ， ， 是中点（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）取的中点，连结，通过证明，利用直线与平面平行得判定定理证明即可；（2） 由已知得，以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系，由与底面所成的角为，求得的坐标，再求出平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可求解二面角的余弦值即可试题解析：（1）取的中点，连结，又平面， 平面平面（2）由已知得，以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 则， ， ， ， ， ，设 ，则， ，与底面所成的角为，而是底面的法向量， ，即又在棱上，设，则，即，可取，于是，二面角的余弦值为【名师点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角以及线面平行的判定定理，属于难题空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角11【2018天津七校联考】如图，三棱柱的所有棱长都是， 平面， ， 分别是， 的中点（）求证： 平面（）求二面角的余弦值（）求点到平面的距离【答案】（1）见解析；（2）；（3）1【解析】试题分析：（1）根据三角形相似得，根据直棱柱性质得，又由等边三角形性质得，所以由线面垂直判定定理得平面，即，最后根据线面垂直判定平面，以为原点建立空间直角坐标系如图所示：则， ， ， ， ， ， ， ， ，（）， ， ，直线与平面所成角的正弦值为，点到平面的距离为12【2018天津一中月考五】如图，在四棱锥中，为等边三角形，且，为中点（1）求证：平面平面；（2）若线段上存在点，使得二面角的大小为，求的值；（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】分析：（1）证明PEAD，PEBE，即可证明PE平面ABCD，从而证明平面PAD平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面EBQ和平面EBC的法向量，由此表示二面角Q-BE-C，求出的值；（3）利用在平面EBQ法向量上的投影，求出点C到平面QEB的距离（1）证明：连接，是等边三角形，为中点，又，且，设， ，设平面的法向量为，平面的法向量不妨设为，或（舍），（3）【名师点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，对判定定理的深刻理解和空间向量的坐标计算准确是解题关键，也考查了距离与夹角的计算问题，是综合题13【2018天津耀华中学月考三】如图，四边形是正方形， 平面， ， ， ， ， 分别为， ， 的中点（1）求证： 平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】试题分析： 建立平面直角坐标系，由， ， 证得平面建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；假设存在点，由共线向量基本定理得到点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线与直线所成角为转化为两向量所成的角为，由两向量的夹角公式求出点的坐标，得到的点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论解析：（1）平面， ， 平面， ，又四边形是正方形，故， ， 两两垂直，平面的一个法向量为，又，又平面， 平面（2）， ，设为平面的一个法向量，则，即，取，得， ，设为平面的一个法向量，则，即，取得， ，即，解得， ，在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，此时14【2018天津河东区期中】如图，四棱锥的底面是正方形， 底面，点在棱上（）求证：平面平面（）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小【答案】（）证明如下；（）（或）【解析】试题分析：（）利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定定理进行证明；（）利用（1）结论，得到线面角，再通过解三角形进行求解试题解析：（）证明：是正方形，又底面，面，又面，面面（）15【2018天津十二校模拟】如图，三棱柱中， 平面，以为邻边作平行四边形，连接 （1）求证：平面；（2）若二面角为求证：平面平面；求直线与平面所成角的正切值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，【解析】试题分析：（1）先证明四边形 为平行四边形，从而可得 ，根据直线与平面平行又平面，平面， /平面 ，（2）取中点M，连接 ， 又 为二面角的平面角 ， 中， ， ， 又 ， 平面 又 ， 平面 ，平面， 所以平面平面 ， 平面所成角与平面所成角相等，由（2）知 ， 平面，为线在平面内的射影，为直线与平面所成角，在 中， ，直线与平面所成角的正切值为【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、二面角的求法，属于难题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面 本题（1）是就是利用方法证明的