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第78练 高考大题突破练圆锥曲线中的定点、定值问题基础保分练1.(2019嘉兴模拟)点P(1,1)为抛物线y2x上一定点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点.(1)求弦AB中点M的纵坐标；(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点)，过Q作PA的平行线交抛物线于E，F两点，求证：|QE|QF|QP|QB|为定值.2.(2019金华十校联考)已知椭圆E：1(ab0)的离心率e，且点P为椭圆E上一点.点A，B为椭圆E的上、下顶点，动点M在第一象限内且坐标为(m,2)，过点M作直线MA，MB分别交椭圆E于C，D两点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.3.设椭圆C：1(ab0)的离心率e，右焦点到直线1的距离d，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.能力提升练4.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上；直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.答案精析基础保分练1(1)解(1)kAB，(*)yAyB2，M点纵坐标为1.(2)证明设Q(x0，y0)，直线EF：xx0t1(yy0)，直线PB：xx0t2(yy0)，联立方程组得y2t1yt1y0x00，所以yEyFt1，yEyFt1y0x0，|QE|QF|yEy0|yFy0|(1t)|yx0|.同理|QP|QB|(1t)|yx0|.由(*)可知，t1yAyP，t2yByP，所以t1t2(yAyB)2yP220，即t1t2，即tt，所以|QE|QF|QP|QB|，即|QE|QF|QP|QB|0为定值2解(1)由e，可得a2b，将代入椭圆E的方程，得1，解得b1，a2，椭圆E的标准方程为y21.(2)由题意，得A(0,1)，B(0，1)，则直线MA的方程为y1，直线MB的方程为y1，联立xC，xD.C，D，kCD，则直线CD的方程为yx，直线CD过定点.3解(1)由e，得，即a2c，bc.由右焦点到直线1的距离d，得，解得a2，b.椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，x2x1，y1y2，yx.又1，解得|x1|，即点O到直线AB的距离d；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，与椭圆的方程1联立并消去y，得(34k2)x28kmx4m2120，x1x2，x1x2.OAOB，x1x2y1y20，x1x2(kx1m)(kx2m)0，即(k21)x1x2km(x1x2)m20，(k21)m20，整理得7m212(k21)，点O到直线AB的距离d.点O到直线AB的距离为定值.OAOB，OA2OB2AB22OAOB，当且仅当OAOB时取“”由dABOAOB，得dABOAOB，AB2d，即弦AB长度的最小值是.能力提升练4(1)解由题意知，可得a24b2，因为抛物线E的焦点为F，所以b，a1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)证明设P(m0)，由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m22)(*)且x1x2，因此x0，将其代入ymx，得y0，因为.所以直线OD的方程为yx，联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上解由知直线l的方程为ymx，令x0，得y，所以G，又P，F，D，所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|，所以.设t2m21，则2，当，即t2时，取到最大值，此时m，满足(*)式，所以P点坐标为.因此的最大值为，此时点P的坐标为.
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