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课时跟踪检测（四） 三角形中的几何计算层级一学业水平达标1在ABC中，A60，AB1，AC2，则SABC的值为()A. B. C. D2解析：选BSABCABACsin A.2如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A B. C D.解析：选B设等腰三角形的底边长为a，顶角为，则腰长为2a，由余弦定理得，cos .3在ABC中，已知面积S(a2b2c2)，则角C的大小为()A135 B45 C60 D120解析：选BS(a2b2c2)absin C，由余弦定理得：sin Ccos C，tan C1.又0C180，C45.4在ABC中，若cos B，2，且SABC，则b()A4 B3 C2 D1解析：选C依题意得，c2a，b2a2c22accos Ba2(2a)22a2a4a2，所以bc2a.因为B(0，)，所以sin B，又SABCacsin Bb，所以b2，选C.5三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为85，则这个三角形的面积为()A40 B20 C40 D20解析：选A设另两边长为8x,5x，则cos 60，解得x2或x2(舍去)故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是1610sin 6040.6在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为_解析：cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.答案：47.如图，在ABC中，已知B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB_.解析：在ADC中，cos C.又0C180，sin C.在ABC中，ABAC7.答案：8ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为_解析：不妨设b2，c3，cos A，则a2b2c22bccos A9，a3.又sin A ，外接圆半径为R.答案：9在ABC中，求证：b2cos 2Aa2cos 2Bb2a2.证明：左边b2(12sin2A)a2(12sin2B)b2a22(b2sin2Aa2sin2B)，由正弦定理，得bsin Aasin B，b2sin2Aa2sin2B0，左边b2a2右边，b2cos 2Aa2cos 2Bb2a2.10.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求BD的长解：在ABC中，AB5，AC9，BCA30，由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsinABC.在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45，由正弦定理，得，解得BD，故BD的长为.层级二应试能力达标1ABC的周长为20，面积为10，A60，则BC的边长等于()A5B6C7D8解析：选C如图，由题意得则bc40，a2b2c2bc(bc)23bc(20a)2340，a7.2在ABC中，已知b2bc2c20，且a，cos A，则ABC的面积等于()A. B. C2 D3解析：选A因为b2bc2c20，所以(b2c)(bc)0，所以b2c.由a2b2c22bccos A，解得c2，b4，因为cos A，所以sin A，所以SABCbcsin A42.3在ABC中，若b2，A120，其面积S，则ABC外接圆的半径为()A. B C2 D4解析：选BSbcsin A，2csin 120，c2，a 2，设ABC外接圆的半径为R，2R4，R2.4在ABC中，sin A，a10，则边长c的取值范围是()A.B(10，)C(0,10) D.解析：选D，csin C0c.5已知ABC的面积S，A，则_.解析：SABC|sin A，即|，所以|4，于是|cos A42.答案：26在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若6cos C，则_.解析：6cos C，6，2a22b22c2c2，又4.答案：47在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知sin Asin Bsin Ctan C.(1)求的值；(2)若ac，且ABC的面积为4，求c的值解：(1)由已知sin Asin Bsin Ctan C得cos C.又cos C，故a2b23c2，故的值为3.(2)由ac, a2b23c2得bc.由余弦定理得cos C，故sin C.所以cc4，解得c4. 8在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2,2cos2 sin A.(1)若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；(2)当ABC的周长取最大值时，求b的值. 解：2cos2sin A1cos(BC)sin Asin Acos A.又0A，且sin2Acos2A1，有(1)若满足条件的ABC有且只有一个，则有absin A或ab，则b的取值范围为(0,2.(2)设ABC的周长为l，由正弦定理得labca (sin Bsin C)2sin Bsin(AB) 2sin Bsin Acos Bcos Asin B22(3sin Bcos B)22sin(B)，其中为锐角，且lmax22，当cos B，sin B时取到此时bsin B.
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