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1.3.1量词学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：每一个三角形都有内切圆；所有实数都有算术平方根；对一切有理数x,5x2还是有理数.以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.答案命题分别使用量词“每一个”“所有”“一切”.命题是真命题，命题是假命题.三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题为假命题.梳理(1)全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”符号全称命题p含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“xM，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“xM，p(x)不成立”.知识点二存在量词与存在性命题思考观察下列命题：有些矩形是正方形；存在实数x，使x5；至少有一个实数x，使x22x20，则a，b的夹角为锐角；(2)x，y为正实数，使x2y20；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)xN，x20.考点全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点全称命题和存在性命题真假判断解(1)ab|a|b|cosa，b0，cosa，b0.又0a，b，0a，b0”是假命题.反思与感悟要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个xx0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).跟踪训练2有下列四个命题：xR,2x23x40；x1，1,0,2x10；xN，x2x；xN*，x为29的约数，其中真命题的个数为_.考点全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点全称命题和存在性命题真假判断答案3解析中，2x23x4220，故正确；中，当x1时，2x10，故不正确；中，当x0或1时，x2x，故正确；中，29N*,29为29的约数，故正确.真命题的个数为3.类型三全称命题、存在性命题的应用例3x1,2，使4x2x12a0恒成立，求实数a的取值范围.考点全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点由全称命题和存在性命题求参数范围解已知不等式化为22x22x2a0，令t2x，x1,2，t，则不等式化为t22t2at22t2，原命题等价于t，at22t2恒成立，令yt22t2(t1)21，当t时，ymax10.只需a10即可.即所求实数a的取值范围是(10，).引申探究本例改为：x1,2，使4x2x12a0成立，求实数a的取值范围.解已知不等式化为22x22x2a0，令t2x，x1,2，t，则不等式化为t22t2at22t2，原命题等价于t，使at22t2成立.令yt22t2(t1)21，当t时，ymin1.只需a1即可.a的取值范围为(1，).反思与感悟有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练3(1)已知关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p(x)：ax22x10，若对xR，p(x)是真命题，求实数a的取值范围.考点全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点由全称命题和存在性命题求参数范围解(1)关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a，实数a的取值范围为.(2)对xR，p(x)是真命题，对xR，ax22x10恒成立，当a0时，不等式为2x10不恒成立，当a0时，若不等式恒成立，则a1，即a的取值范围为(1，).1.下列命题是“xR，x23”的表述方法的有_.有一个xR，使得x23；对有些xR，使得x23；任选一个xR，使得x23；至少有一个xR，使得x23.考点存在量词与存在性命题题点识别存在性命题答案2.下列命题中全称命题的个数是_.任意一个自然数都是正整数；有的等差数列也是等比数列；三角形的内角和是180.考点全称量词及全称命题题点识别全称命题答案2解析是全称命题.3.下列存在性命题是假命题的是_.存在xQ，使得2xx30；存在xR，使得x2x10；有的素数是偶数；有的有理数没有倒数.考点存在量词与存在性命题题点存在性命题真假的判断答案解析对于任意的xR，x2x120恒成立，因此，使x2x10的实数不存在，所以为假命题.4.对任意的x3，xa都成立，则a的取值范围为_.考点全称量词及全称命题题点恒成立求参数的范围答案(，3解析只有当a3时，对任意的x3，xa都成立.5.用量词符号“”“”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2.(2)有一个有理数x满足x23.考点全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点识别全称命题和存在性命题解(1)xx|x是凸n边形，x的外角和是2.(2)xQ，x23.1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题.一、填空题1.下列命题中，是全称命题且是真命题的是_.(填序号)对任意的a，bR，都有a2b22a2b20；菱形的两条对角线相等；xR，x；对数函数在定义域上是单调函数.考点全称量词及全称命题题点全称命题真假的判断答案解析中的命题是全称命题，但a2b22a2b2(a1)2(b1)20，故是假命题；中的命题是全称命题，但是假命题；中的命题是全称命题，但|x|，故是假命题；很明显中的命题是全称命题且是真命题.2.下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是_.(填序号)存在一个角，使得tan(90)tan；存在实数x，使得sinx；对一切，sin(180)sin；sin()sincoscossin.考点存在量词与存在性命题题点存在性命题真假的判断答案解析当45时，tan(9045)tan45，为真命题，且为存在性命题；中对xR，有sinx10；xR,2x0.考点全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点全称命题和存在性命题真假判断答案解析对于，当x1时，lgx0，正确；对于，当x时，tanx1，正确；对于，当x0时，x30，错误；对于，xR,2x0，正确.4.已知命题：“xx|1x1，使等式x2xm0成立”是真命题，则实数m的取值范围为_.考点存在量词与存在性命题题点存在性命题求参数的范围答案解析已知命题：“xx|1x0对任意xR都成立，当m0时，显然成立；当即0m1时，不等式也成立；当m0对于任意xR恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值范围.考点全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点由全称命题和存在性命题真假求参数范围解(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可.故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时m4.(2)不等式mf(x)0可化为mf(x).若存在实数x，使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，所以f(x)min4，故m4.故所求实数m的取值范围是(4，).三、探究与拓展14.已知命题p：f(x)对x(，0有意义；命题q：数列an中，ann，且对nN*，均有log2恒成立.若命题p与q有且仅有一个正确，试求实数t的取值范围.考点全称量词及全称命题题点恒成立求参数的范围解(1)对于命题p，由f(x)在x(，0上有意义，知1t3x0，x(，0恒成立，即tx，x(，0恒成立，解得t1，所以，若命题p成立，则t1.(2)对于命题q，因为ann，所以11，所以log21，解得t1.因为命题p与q有且仅有一个正确，所以，若命题p成立，q不成立，则所以t1或t，若命题p不成立，q成立，解得t.综上可知，t的取值范围是.15.是否存在k和等差数列an，使ka1S2nSn1，其中S2n，Sn1分别是等差数列an的前2n项，前n1项的和.若存在，试求出常数k和数列an的通项；若不存在，请说明理由.考点存在量词与存在性命题题点存在性命题求参数的范围解假设存在.设anpnq(p，q为常数)，则ka1kp2n22kpqnkq21，Snpn(n1)qn.S2nSn1pn2n(pq)，则kp2n22kpqnkq21pn2n(pq).故有由，得p0或kp.当p0时，由，得q0，而pq0不适合，故p0.把kp代入，得q；把q代入，由kp，得p.从而q，k.故存在常数k及等差数列ann，满足题意.
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