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考查角度1等差、等比数列的综合应用分类透析一根据已知条件求通项例1 已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=32an-12a1(nN*),且a1-1,2a2,a3+7成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=2log9an(nN*),求数列1bnbn+1的前n项和Tn.分析 (1)根据an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2可得出an的递推公式,再根据a1-1,2a2,a3+7成等差数列解方程计算a1即可得出an;(2)分析数列1bnbn+1通项的结构特征,选择用裂项相消法求Tn.解析 (1)由Sn=32an-12a1得2Sn=3an-a1.由2Sn=3an-a1,2Sn-1=3an-1-a1(n2),作差得an=3an-1(n2),数列an是公比为3的等比数列.又a1-1,2a2,a3+7成等差数列,4a2=a1+a3+6,即12a1=a1+9a1+6,解得a1=3,an=3n.(2)由(1)得bn=2log93n=n,1bnbn+1=1n-1n+1,Tn=1-12+12-13+1n-1n+1=nn+1.方法技巧 已知Sn求an的一般步骤:(1)利用a1=S1,求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式.(3)对a1进行检验,看是否符合当n2时an的表达式,若符合,则可以把数列的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n2两段来写.例2 (2018道里区校级二模)已知数列an为正项数列,a1=3,且an+1an-anan+1=21an+1an+1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=2an+(-1)nan,求bn的前n项和Sn.分析 (1)由数列的递推公式可求出数列an的通项公式;(2)利用分组求和法和分类讨论法可求出Sn.解析 (1)an+1an-anan+1=21an+1an+1(nN*),an+12-an2=2(an+1+an),(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an).又数列an为正项数列,an+1-an=2.a1=3,数列an是以3为首项,2为公差的等差数列,an=3+2(n-1)=2n+1.(2)bn=2an+(-1)nan=22n+1+(-1)n(2n+1)=24n+(-1)n(2n+1),设cn=24n,则cn的前n项和为8(1-4n)1-4=22n+3-83.设dn=(-1)n(2n+1),当n为偶数时,dn的前n项和为(-3+5)+(-7+9)+(-2n+1+2n+1)=2n2=n;当n为奇数时,dn的前n项和为-3+(5-7)+(9-11)+(2n-1-2n-1)=-3-2n-12=-3-(n-1)=-n-2.综上所述,Sn=22n+33+n-83,n为偶数,22n+33-n-143,n为奇数.方法技巧 对形如 anan-1=f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项时常用累乘法,可求出ana1与n的关系式.分类透析二涉及等差、等比数列的综合运算例3 (2018甘肃一模)已知在等差数列an和等比数列bn中,a1=b1=1,a2=b2,a4+2=b3.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)如果am=bn(nN*),写出m,n的关系式m=f(n),并求f(1)+f(2)+f(n).分析 (1)利用已知条件求解数列an和bn的通项公式;(2)利用am=bn(nN*),求出m,n的关系式m=f(n),再利用分组求和法进行求解即可.解析 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,则1+d=q,1+3d+2=q2,解得d=2,q=3或d=-1,q=0(舍去).an=2n-1,bn=3n-1.(2)am=bn,2m-1=3n-1,即m=12(3n-1+1),即f(n)=3n-1+12.故f(1)+f(2)+f(n)=12(30+1+31+1+3n-1+1)=12(30+31+3n-1+n)=121-3n1-3+n=3n+2n-14.方法技巧 在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个解题思路:一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定的运算量,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具.在解决等差、等比数列的综合运算问题时,经常采用“巧用性质,整体考虑”减少运算量的方法.分类透析三证明数列是等差、等比数列例4 已知数列an满足a1=1,a2=2,对于任意的nN*,都有an+2=2an.(1)设bn=a2n-a2n-1,求证:bn为等比数列.(2)设cn=k=1nbk,求证:k=1n1ck4+32.分析 (1)利用an+2=2an推导出bn为等比数列;(2)先利用裂项求和法求解cn=k=1nbk,再利用放缩法证明即可.解析 (1)由a1=1,a2=2,且an+2=2an,nN*,可得当n为奇数时,an=(2)n-12;当n为偶数时,an=(2)n2.又bn=a2n-a2n-1=(2)n-(2)n-1=(2-1)(2)n-1,则bn+1=(2-1)(2)n,所以bn+1bn=2,又b1=2-1,所以bn是首项为2-1,公比为2的等比数列.(2)由(1)知cn=k=1nbk=(2-1)1-(2)n1-2=(2)n-1,则k=1n1ck=k=1n1(2)k-1=k=1n(2)k+1-1(2)k-1(2)k+1-1k=1n(2)k+1(2)k-1(2)k+1-1=k=1n22-11(2)k-1-1(2)k+1-1=22-112-1-1(2)k+1-10),由a2b2=2,a2+b2=6,得a2=4,b2=2.又a1=b1=1,所以d=3,q=2,所以an=3n-2,bn=2n-1,nN*.(2)Sn=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=n(1+3n-2)2+1-2n1-2=3n2-n2+2n-1.3.(2016年全国卷,文17改编)已知数列an满足an-an-1=2(n2),数列bn满足b1=1,b2=12,且anbn+1=nbn.(1)求a1,a2;(2)求bn的前n项和.解析 (1)anbn+1=nbn,当n=1时,a1b2=b1,又b1=1,b2=12,a1=2.an-an-1=2,a2-a1=2,a2=4.(2)an是首项为2,公差为2的等差数列,an=2n.anbn+1=nbn,即bn+1=12bn,数列bn是以1为首项,12为公比的等比数列.记bn的前n项和为Sn,则Sn=1(1-2-n)1-2-1=2(1-2-n).1.(2018淄博二模)已知等比数列an的前n项和为Sn,数列bnn是公差为1的等差数列,若a1=2b1,a4-a2=12,S4+2S2=3S3.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=nbn(n+2)(n为奇数),2an(n为偶数),Tn为cn的前n项和,求T2n.解析 (1)设等比数列an的公比为q.由S4+2S2=3S3,即S4-S3=2(S3-S2),即a4=2a3,得q=a4a3=2.又a4-a2=12,即a1q3-a1q=12,解得a1=2,an=2n.a1=2b1,b1=1,bnn=1+(n-1)1,bn=n2.(2)由(1)得cn=1n(n+2)(n为奇数),12n-1(n为偶数),T2n=(c1+c3+c2n-1)+(c2+c4+c2n)=113+135+1(2n-1)(2n+1)+12+18+122n-1=121-13+13-15+12n-1-12n+1+121-14n1-14=12-12n+112+231-14n=76-12(2n+1)-234n.2.(2018石嘴山一模)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=1,S5=45,在数列bn中,b1=1,bn+1=2bn+1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若cn=anbn+1,求数列cn的前n项和Tn.解析 (1)由题意知,an是等差数列,a1=1,S5=45,即5+10d=45,可得d=4,数列an的通项公式为an=4n-3.由bn+1=2bn+1,可得bn+1+1=2(bn+1),bn+1+1bn+1=2,即bn+1是首项为2,公比为2的等比数列.bn+1=2n,bn=2n-1.(2)由(1)得cn=anbn+1=4n-32n=(4n-3)12n,故Tn=c1+c2+cn=(41-3)12+(42-3)122+(4n-3)12n,12Tn=(41-3)122+(42-3)123+(4n-3)12n+1.由-得12Tn=12+4122+4123+412n-(4n-3)12n+1,即12Tn=12+4122+123+12n-(4n-3)12n+1,12Tn=12+412-12n-(4n-3)12n+1,Tn=5-4n+52n.3.(2018成都三模)有一数列a0,a1,a2,且对任意的m,nN,mn,满足2am+2an-2n=am+n+am-n,已知a1=2.(1)求a0,a2,a3.(2)求证:对一切nN*,数列an+1-an为等差数列.(3)若对一切nN*,1a1+1a2+1an恒成立,求的最小值.解析 (1)根据题意,数列满足2am+2an-2n=am+n+am-n,令m=n=0可得2a0+2a0=a0+a0,则有a0=0.令m=n=1可得2a1+2a1-2=a2+a0,则有a2=6.令m=2,n=1可得2a2+2a1-2=a3+a1,则有a3=12.(2)根据题意,数列满足2am+2an-2n=am+n+am-n,令n=1可得2am+2a1-2=am+1+am-1,变形可得am+1-am=am-am-1+2,又a2-a1=4,故数列an+1-an是以4为首项,2为公差的等差数列.(3)由(2)得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n(n+1),则1a1+1a2+1an=112+123+134+1n(n+1)=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1.要使1-1n+1恒成立,必有1,故的最小值为1.4.(2018济南市中区校级一模)已知数列an满足a1=13,an+1=an2-an(nN*).(1)令bn=1an-1,求证数列bn为等比数列,并求数列an的通项公式.(2)令cn=n1an-1,Sn为数列cn的前n项和,求证:Sn2.解析 (1)因为an+1=an2-an(nN*),所以bn+1bn=1an+1-11an-1=2an-21an-1=2(常数).又a1=13,所以b1=1a1-1=2.所以数列bn是以2为首项,2为公比的等比数列.所以1an-1=22n-1=2n,整理得an=12n+1.(2)由(1)得cn=n(2n+1)-1=n2n,故Sn=1121+2122+n12n,12Sn=1122+2123+n12n+1,由-得12Sn=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1,则Sn=2-2+n2n2.
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