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专题1函数与导数一、函数1.函数的三要素是什么?定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”.2.求函数的定义域应注意什么?求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f(x)的定义域是a,b,求f(g(x)的定义域,是指满足ag(x)b的x的取值范围,而已知f(g(x)的定义域是a,b,指的是xa,b.3.判断函数的单调性有哪些方法?单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;图象法;复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;导数法.4.函数的奇偶性有什么特征?奇偶性的特征及常用结论:若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称;f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称.奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.若f(x+a)为奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称;若f(x+a)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称.5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?指数函数与对数函数的图象和性质:指数函数y=ax对数函数y=logax图象性质当0a1时,函数在R上单调递增当0a1时,函数在(0,+)上单调递增0a0时,0y1;当x10a1时,y0;当0x0a1,当x0时,y1;当x0时,0y1,当x1时,y0;当0x1时,y06.函数图象的推导应注意哪些?探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法:(1)知图选式:从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;从图象的变化趋势,观察函数的单调性;从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;从图象的循环往复,观察函数的周期性.(2)知式选图:从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;从函数的单调性,判断图象的变化趋势;从函数的奇偶性,判断图象的对称性;从函数的周期性,判断图象的循环往复.7.确定函数零点的常用方法有哪些?函数零点个数的判断方法:(1)直接法:令f(x)=0,则方程解的个数为函数零点的个数.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求曲线f(x)在a,b上是连续的,且f(a)f(b)0(f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.将函数y=f(x)在a,b上的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.利用导数可以解决哪些不等式问题?(1)利用导数证明不等式:证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果能证明F(x)在(a,b)上的最大值小于0,那么可以证明f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xI);xI,使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xI);对x1,x2I,f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min;对x1I,x2I,f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查.一、选择题和填空题的命题特点(一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合.1.(2018全国卷理T3改编)函数f(x)=5x-5-xx2的图象大致为().解析f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且f(-x)=5-x-5xx2=-f(x),f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;又当x0时,5x15-x,f(x)0,排除D;f(2)1,排除C.故选B.答案B2.(2017全国卷文T8改编)函数y=sin2x1+cosx的部分图象大致为().解析因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误;又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A.答案A(二)考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等.3.(2018全国卷理T11改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)=().A.-2018B.0C.2D.50解析f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.答案C(三)考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象.4.(2018全国卷文T16改编)已知函数f(x)=log2(1+x2-x)+2,f(a)=3,则f(-a)=.解析因为f(x)log=2(1+x2-x)+2,所以f(x)+f(-x)=log2(1+x2-x)+2+log21+(-x)2-(-x)+2=log2(1+x2-x2)+4=4.因为f(a)=3,所以f(-a)=4-f(a)=4-3=1.答案15.(2018全国卷文T13改编)已知函数f(x)=log3(x2+a),若f(2)=1,则a=.解析f(2)=1,log3(4+a)=1,4+a=3,a=-1.答案-16.(2017全国卷文T8改编)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间是().A.(-1,1B.1,3)C.(-,1D.1,+)解析令t=-x2+2x+3,由t0,求得-1x3,故函数的定义域为(-1,3),且y=lnt,故本题为求函数t=-x2+2x+3在定义域内的单调递减区间.利用二次函数的性质求得t=-(x-1)2+4在定义域内的单调递减区间为1,3),故选B.答案B(四)考查函数零点的判断及应用,同时考查函数与方程的思想、转化思想及数形结合思想,试题难度较大.7.(2017全国卷理T11改编)已知函数f(x)=x2-4x+a(10x-2+10-x+2)有唯一零点,则a=().A.4B.3C.2D.-2解析函数f(x)有唯一零点等价于方程4x-x2=a(10x-2+10-x+2)有唯一解,等价于函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象只有一个交点.当a=0时,f(x)=x2-4x,此时函数有两个零点,矛盾;当a0时,由于y=4x-x2在(-,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最高点为B(2,2a),由于2a00时,由于y=4x-x2在(-,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最低点为B(2,2a),由题意可知点A与点B重合时满足条件,即2a=4,解得a=2,符合条件.故选C.答案C(五)考查导数的几何意义及简单的导数计算.导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小.8.(2018全国卷理T5改编)设函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析因为函数f(x)是奇函数,所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=x3-x,f(x)=3x2-1,所以f(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-x.答案y=-x二、解答题的命题特点在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第21题,是全卷的压轴题.试题难度较大,综合性强,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极(最)值的应用,恒成立问题,不等式的证明等.1.(2018全国卷文T21改编)已知函数f(x)=aex+lnx+1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a-1e时,f(x)0.解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=eax+1x.由题设知,f(2)=0,所以a=-12e2.从而f(x)=-12e2ex+lnx+1,则f(x)=-12e2ex+1x.当0x0;当x2时,f(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减.(2)当a-1e时,f(x)-exe+lnx+1.设g(x)=-exe+lnx+1,则g(x)=-exe+1x.当0x0;当x1时,g(x)0时,g(x)g(1)=0.因此,当a-1e时,f(x)0.2.(2017全国卷文T21改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.解析(1)f(x)=e22x-eax-a2=(e2x+a)e(x-a).若a=0,则f(x)=e2x,其在R上单调递增.若a0,则由f(x)=0,得x=ln-a2.当x-,ln-a2时,f(x)0.故f(x)在-,ln-a2上单调递减,在ln-a2,+上单调递增.(2)当a=0时,f(x)=e2x0恒成立.若a0,f(x)0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别.6.利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程f(x)=0的根,再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号;(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)=0根的大小或存在情况来求解;(3)求函数f(x)在闭区间a,b上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
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