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专题45 直线与方程【热点聚焦与扩展】高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧.（一）直线与方程：1、倾斜角：若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围 2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）斜率的求法：已知直线上任意两点，则，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关.3、截距：若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向： 点斜式：已知直线的斜率，直线上一点，则直线的方程为：证明：设直线上任意一点，根据斜率计算公式可得：，所以直线上的每一点都应满足：，即为直线方程 斜截式：已知直线的斜率，纵截距，则直线的方程为： 证明：由纵截距为可得直线与轴交点为，从而利用点斜式得： 化简可得： （2）两点确定一条直线： 两点式：已知直线上的两点，则直线的方程为： 截距式：若直线的横纵截距分别为，则直线的方程为：证明：从已知截距可得：直线上两点，所以 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：（不同时为0），此形式称为直线的一般式一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系 点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）（2）截距式： 截距不全的直线：水平线，竖直线 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是，则要考虑重合的情况.2、直线平行的条件（1）斜截式方程：设直线 若直线的斜率存在，则（2）一般式方程：设，则 当时， ，且和中至少一个成立，则（此条件适用于所有直线）3、直线垂直的条件：（1）斜截式方程：设直线，则（2）一般式方程：设，则：4、一般式方程平行与垂直判定的规律： 可选择与一般式方程对应的向量：，即有：，从而的关系即可代表的关系，例如：（注意验证是否会出现重合的情况）（三）距离问题：1、两点间距离公式：设，则2、点到直线距离公式：设则点到直线的距离3、平行线间的距离：则的距离为（四）对称问题1、中心对称：（1）几何特点：若关于点中心对称，则为线段的中点（2）解析特征：设，则与点关于点中心对称的点满足：2、轴对称（1）几何特点：若若关于直线轴对称，则为线段的中垂线，即，且的中点在上（2）解析特征：设，则与点关于轴对称的点满足： ，解出即可（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线，直线关于的对称直线为 若，则，且到对称轴的距离与到对称轴的距离相等 若与相交于 ，则取上一点，求出关于的对称点，则即为对称直线（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系参数不会影响斜率的取值（1）与直线平行的直线系方程为：（为参数，且）（2）与直线垂直的直线系方程为：（为参数）2、过定点的直线：（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可（2）已知（与不重合），则过交点的直线系方程为：（该直线无法表示）3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程【经典例题】例1.过点和 的直线的斜率为1，则实数的值为（ ）A1 B2 C1或4 D1或2【答案】A【解析】依题意有例2.已知直线方程为则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直线方程为所以直线的斜率为因为直线倾斜角的范围所以倾斜角为故答案为.例3. 坐标平面内有相异两点，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D【答案】【解析】，且.设直线的倾斜角为，当时，则，所以倾斜角的范围为.当时，则，所以倾斜角的范围为.例4. 直线过点，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】或.例5. 已知直线，其中，则“”是“”的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线的充要条件是 或 .故选A.例6.【2018届四川省南充高级中学高三9月检测】已知直线.若，则实数的值是（ ）A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A【解析】，则 即 经检验都符合题意故选A.例7已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是 .【答案】 例8. 设直线l的方程为(1)若在两坐标轴上截距相等，求的方程；(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围【答案】(1).(2)【解析】 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，方程即为.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，即方程即为.综上，的方程为.(2)将的方程化为或,综上可知的取值范围是点睛：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.例9.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求（1）过点且与平行的直线方程；（2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：(1)先求，写出直线点斜式方程，整理得解(2)先求两条直线的交点，设出直线方（2），当斜率不存在，则方程为，不合题意当斜率存在，设方程,而,，或，方程为或.例10. 已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程【答案】.【解析】直线关于直线对称，所以与与间的距离相等由两平行直线间的距离公式得，解得或（舍去），所以直线的方程为.法二：由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，于是有，解得，即把点代入的方程，得，所以直线的方程为【精选精练】1.【2018届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ）A. -2 B. -3 C. -4 D. -52.已知直线与直线平行，则实数的值为 ( )A. B C. D. 【答案】A【解析】由题意，即,选A.3.平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】4.已知直线在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】直线在两坐标轴上的截距之和为4，所以，即 ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 .5若直线与以，为端点的线段没有公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C. D【答案】D【解析】直线过定点,所以，选D.6.直线经过点，则倾斜角与直线的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ ）A B C D【答案】C【解析】将点代入得，直线方程为，斜率为，倾斜角为.故和其垂直的直线斜率为，故选C.7.点，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A8. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A2 B6 C3 D2【答案】A【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线所经过的路程为|CD|2故选A9.若直线： 经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是 【答案】【解析】由题意得，截距之和为，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为10.已知两直线和试确定的值，使（1）与相交于点；（2）；（3），且在轴上的截距为1【答案】（1），；（2），或，；（3），.【解析】试题分析：（1）将点代入两直线方程，解出和的值；（2）由得斜率相等，求出值，再把直线可能重合的情况排除；（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于，或即，时或，时，（3）当且仅当，即时，又，即，时，且在轴上的截距为11.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线的方程为，求的方程，使得：（1）与平行，且过点；（2）与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由与平行可设，再代点得.（2）由与垂直可设，再得与坐标轴的交点，根据面积公式得，最后解方程得试题解析：解：（1）设，过点，.方程为.方程为或.12已知，直线， 相交于点P，交y轴于点A，交x轴于点B（1）证明：；（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；（3）设S= f (m), 求的单调区间.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）在（1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数.【解析】（1）证明：可把两条直线化为（3）, 又是单调递减的函数,而在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，在（1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数
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