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考点规范练13导数与函数的单调性基础巩固组1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)答案D解析因为f(x)=(x-3)ex,则f(x)=ex(x-2),令f(x)0,得x2,所以f(x)的单调递增区间为(2,+).2.(2017浙江嘉兴调研)已知函数f(x)=12x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析f(x)=32x2+a,当a0时,f(x)0恒成立,故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.3.设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是()答案C解析由y=f(x)的图象易知当x2时,f(x)0,故函数y=f(x)在区间(-,0)和(2,+)上单调递增;当0x2时,f(x)0,故函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递减.4.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是()A.1a2B.a4C.a2D.00),当x-9x0,即00,且a+13,解得10时,g(x)在(0,+)上为增函数,则g120,解得14+a4-10,a3;当a0(x0),可得1-lnx0,x0,解得x(0,e).7.(2017浙江丽水模拟)已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2+2)0,函数单调递增,所以由f(x2+2)f(3x)得x2+23x,所以1x2.8.已知函数f(x)=x3+3x对任意的m-2,2,f(mx-2)+f(x)0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(mx-2)+f(x)0可化为f(mx-2)-f(x)=f(-x),由f(x)在R上单调递增可知mx-2-x,即mx+x-20,则对任意的m-2,2,f(mx-2)+f(x)0恒成立,等价于对任意的m-2,2,mx+x-20恒成立,所以-2x+x-20,2x+x-20,解得-2x0,f(2)=92,则不等式f(lg x)0,g(x)在(0,+)递增,而g(2)=f(2)-12=4,故由f(lgx)1lgx+4,得g(lnx)g(2),故0lnx2,解得1x100,故选D.12.已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f(x)12,则f(x)x2+12的解集为()A.x|-1x1B.x|x-1C.x|x1D.x|x1答案D解析设F(x)=f(x)-x2+12,则F(1)=f(1)-12+12=1-1=0,又F(x)=f(x)-12,对任意xR,有F(x)=f(x)-120,即函数F(x)在R上单调递减,则F(x)0的解集为(1,+),即f(x)0时,f(x)=lnx+32x2,则f(x)=1xx2-lnx+322xx4=x-2xlnx-3xx4=-2x(1+lnx)x4,由f(x)0得-2x(1+lnx)0,得1+lnx0,即lnx-1,得0x1e,此时函数单调递增,由f(x)0得-2x(1+lnx)0,即lnx-1,得x1e,此时函数单调递减,即当x0时,x=1e时,函数f(x)取得极大值f1e=ln1e+32(1e)2=-1+32e2=12e2,作出函数f(x)的图象如图.要使a=ln|x|+32x2有4个不同的交点,则满足0a12e2,故选A.14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-xe-x;函数f(x)的单调递减区间是(-,-1)和(1,+);对x1,x2R,都有|f(x1)-f(x2)|2e.其中正确的序号是.答案解析当x0时,f(x)=-f(-x)=-(-x)e-x=xe-x,x0,故错误;当x0时,f(x)=ex(x+1),则在(-,-1)单调递减,由奇函数对称性可知,在(1,+)也单调递减,故正确;由导函数分析可知,f(x)min=f(-1)=-1ef(x)max=f(1)=1e,所以|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|=2e,故正确.所以正确的命题是.15.已知函数f(x)=x2ex,若f(x)在t,t+1上不单调,则实数t的取值范围是.答案(-3,-2)(-1,0)解析由题意,得f(x)=ex(x2+2x),f(x)在(-,-2),(0,+)上单调递增,(-2,0)上单调递减,又f(x)在t,t+1上不单调,t-2或t0,即实数t的取值范围是(-3,-2)(-1,0),故填:(-3,-2)(-1,0).16.(2017江苏高考)已知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.答案-1,12解析因为f(-x)=-x3+2x+1ex-ex=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因为f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+2exe-x0,所以f(x)在R上单调递增,又f(a-1)+f(2a2)0,即f(2a2)f(1-a),所以2a21-a,即2a2+a-10,解得-1a12,故实数a的取值范围为-1,12.17.设f(x)=ex1+ax2,其中a为正实数.(1)当a=43时,求f(x)单调区间;(2)若f(x)为R上的单调函数,求实数a的取值范围.解对f(x)求导得f(x)=ex1+ax2-2ax(1+ax2)2.(1)当a=43时,若f(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=32,x2=12.结合,可知x-,121212,323232,+f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以增区间为-,12,32,+;减区间为12,32.(2)若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号,结合与条件a0,知ax2-2ax+10在R上恒成立,即=4a2-4a=4a(a-1)0,又a0,得0a1.所以实数a的取值范围为a|00,函数f(x)在(0,+)上单调递增.当a0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).当a=-12时,=0,f(x)=-12(x-1)2x(x+1)20,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当a-12时,0,g(x)0,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当-12a0.设x1,x2(x10,所以x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增;x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a0时,函数f(x)在(0,+)上单调递增;当a-12时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当-12a0时,f(x)在0,-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a,+上单调递减,在-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a上单调递增.
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