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规范答题强化练(五)解 析 几 何(45分钟48分)1.(12分)如图,已知椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,A,B为椭圆的左右顶点,焦点到短轴端点的距离为2,P,Q为椭圆E上异于A,B的两点,且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍.(1)求证:直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值.(2)求三角形APQ的面积的最大值.【解析】(1)由题意知椭圆方程为+=1.kAPkBP=-,故kBPkBQ=-1.(4分)(2)当直线PQ的斜率存在时,设lPQ:y=kx+m,与x轴的交点为M,代入椭圆方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0.(6分)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,(7分)由kBPkBQ=-1得=0,则y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,得(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+4+m2=0,4k2+8km+3m2=0,得m=-2k或m=-k.y=kx-2k或y=kx-k,所以过定点M(2,0)或,点为右端点,舍去,(8分)SAPQ=SAPM+SAQM=,(10分)令=t(0t0,SAPQb0)的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程.(2)过点M任作一条直线与椭圆C相交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在定点N,使得直线PN与直线QN关于x轴对称?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意得b=2,a2=8,故椭圆C的方程为+=1.(4分)(2)假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ与x轴不垂直时,设PQ的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程化简得:(2+k2)x2-2k2x+k2-8=0,(6分)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以kPN+kQN=+=+=,(8分)因为2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m=-+2m=,(10分)所以当m=4时,kPN+kQN=0,直线PN与直线QN关于x轴对称,当PQx轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线PN与直线QN关于x轴对称,综上可得,在x轴上存在定点N(4,0),使得直线PN与直线QN关于x轴对称.(12分)3.(12分)已知F1,F2是椭圆:+=1(b0)的左、右焦点.(1)当b=1时,若P是椭圆上在第一象限内的一点,且=-,求点P的坐标.(2)当椭圆的焦点在x轴上且焦距为2时,若直线l:y=kx+m与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且3x1x2+4y1y2=0,求证:AOB的面积为定值.【解析】(1)当b=1时,椭圆方程为+y2=1,则F1(-,0),F2(,0).设P(x,y)(x0,y0),则=(-x,-y),=(-x,-y),(2分)由=-,得x2+y2=,与椭圆方程联立解得x=1,y=,即点P的坐标为.(4分)(2)当椭圆的焦距为2时,c=1.则b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1.由得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.(6分)因为=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)=48(3+4k2-m2)0,所以3+4k2-m20,所以x1+x2=-,x1x2=.所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由3x1x2+4y1y2=0,得3+4=0.所以2m2=3+4k2.因为|AB|=|x1-x2|=.(10分)又点O到直线AB的距离d=,所以SAOB=|AB|d=.即AOB的面积为定值.(12分)4.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且ADF为以F为顶点的等腰三角形,求C的方程.(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D,记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且APBP,求证:点P的坐标为,并求点P到直线AB的距离d的取值范围.【解析】(1)由题知F,=3+,(2分)则D(3+p,0),FD的中点坐标为,则+=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(4分)(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0,因为x0.所以=16m2+16x00,(6分)y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(xP,0),则=(x2-xP,-y2),=(x1-xP,y1),由题知,所以(x2-xP)y1+y2(x1-xP)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)xP=,显然y1+y2=4m0,所以xP=-x0,即P(-x0,0),由题知EPB为等腰直角三角形,所以kAP=1,(8分)即=1,也即=1,所以y1-y2=4,所以(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x01,(10分)又因为x0,所以x01,d=,令=t,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)=-2t在上是减函数,所以d.(12分)
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