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1.212.1函数的概念预习课本P1518，思考并完成以下问题(1)在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？ (2)如何用区间表示数集？ (3)相等函数是指什么样的函数？ 1函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域与值域：函数yf(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集点睛对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号“f：AB”表示A到B的一个函数(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样2区间概念(a，b为实数，且ab)定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b3其它区间的表示定义Rx|xax|xax|xax|xa符号(，)a，)(a，)(，a(，a)点睛关于无穷大的2点说明(1)“”是一个符号，而不是一个数(2)以“”或“”为端点时，区间这一端必须是小括号1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示()(2)数集x|x2可用区间表示为2，()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2函数y的定义域是()A1，)B1,0)C(1，) D(1,0)答案：C3已知f(x)x21，则f ( f (1)()A2 B3C4D5答案：D4用区间表示下列集合：(1)x|10x100用区间表示为_(2)x|x1用区间表示为_答案：(1)10,100(2)(1，)函数的判断例1(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0B1C2 D3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？ f：把x对应到3x1； g：把x对应到|x|1； h：把x对应到； r：把x对应到.(1)解析中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是，故选B.答案B(2)解是实数集R上的一个函数它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一xR,3x1都有唯一确定的值与之对应，如x1，则3x12与之对应同理，也是实数集R上的一个函数不是实数集R上的函数因为当x0时，的值不存在不是实数集R上的函数因为当x1，且x1，所以这个函数的定义域为x|x1，且x1.求函数值和值域例4(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)，则f(2)_，f(g(2)_.(2)求下列函数的值域：yx1；yx22x3，x0,3)；y；y2x.(1)解析f (x)，f(2).又g (x)x22，g (2)2226，f ( g(2)f (6).答案 (2)解(观察法)因为xR，所以x1R，即函数值域是R.(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2,6)(分离常数法)y3.0，y3，y的值域为y|yR且y3(换元法)设t，则t0且xt21，所以y2(t21)t2 2，由t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法 活学活用4求下列函数的值域：(1)y1；(2)y.解：(1)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(2)因为y1，又函数的定义域为R，所以x211，所以0a，则a.答案：7已知函数f(x)2x3，xxN|1x5，则函数f(x)的值域为_解析：x1,2,3,4,5，f(x)2x31,1,3,5,7.f(x)的值域为1,1,3,5,7答案：1,1,3,5,78设f (x)，则f ( f ( x )_.解析：f ( f (x).答案：(x0，且x1)9已知f(x)x24x5.(1)求f (2)的值(2)若f (a)10，求a的值解：(1)由f (x)x24x5，所以f (2)224251.(2)由f (a)10，得a24a510，即a24a50，解得a5或a1.10求函数y的定义域，并用区间表示解：要使函数解析式有意义，需满足：即所以2x3且x.所以函数的定义域是.用区间表示为.层级二应试能力达标1下列式子中不能表示函数yf(x)的是()Axy21By2x21Cx2y6 Dx解析：选A对于A，由xy21得y2x1.当x5时，y2，故y不是x的函数；对于B，y2x21是二次函数；对于C，x2y6yx3是一次函数；对于D，由x得yx2(x0)是二次函数故选A.2若集合Ax|y，By|yx22，则AB()A1，) B(1，)C2，) D(0，)解析：选C集合A表示函数y的定义域，则Ax|x1，集合B表示函数yx22的值域，则By|y2，故ABx|x23若函数f (x)ax21，a为一个正数，且f ( f (1)1，那么a的值是()A1 B0C1 D2解析：选Af (x)ax21，f (1)a1，f (f(1)f (a1)a(a1)211.a(a1)20.又a为正数，a1.4已知函数yf(x)与函数y是相等的函数，则函数yf(x)的定义域是()A3,1 B(3,1)C(3，) D(，1解析：选A由于yf(x)与y是相等函数，故二者定义域相同，所以yf(x)的定义域为x|3x1故写成区间形式为3,15函数y的定义域是A，函数y 的值域是B，则AB_(用区间表示)解析：要使函数式y有意义，只需x2，即Ax|x2；函数y 0，即By|y0，则ABx|0x2答案：0,2)(2，)6函数y的定义域用区间表示为_解析：要使函数有意义，需满足即定义域为(，4)(4,4)(4,6答案：(，4)(4,4)(4,67试求下列函数的定义域与值域：(1)f (x)(x1)21，x1,0,1,2,3；(2)f (x)(x1)21；(3)f (x)；(4)f (x)x.解：(1)函数的定义域为1,0,1,2,3，则f (1)(1)1215，同理可得f(0)2，f (1)1，f (2)2，f(3)5，所以函数的值域为1,2,5(2)函数的定义域为R，因为(x1)211，所以函数的值域为y|y1(3)函数的定义域是x|x1，y5，所以函数的值域为y|y5(4)要使函数式有意义，需x10，即x1，故函数的定义域是x|x1设t，则xt21(t0)，于是f(t)t21t2.又t0，故f (t).所以函数的值域是.8已知函数f (x).(1)求f(2)f ，f(3)f 的值；(2)求证：f (x)f 是定值；(3)求f(2)f f(3)f f(2 016)f 的值解：(1)f(x)，f(2)f1，f (3)f1.(2)证明：f(x)f1.(3)由(2)知f(x)f1，f(2)f1，f(3)f1，f(4)f1，f(2 016)f1.f(2)ff(3)ff(2 016)f2 015.12.2函数的表示法第一课时函数的表示法预习课本P1921，思考并完成以下问题 (1)表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？ (2)函数的各种表示法各有什么特点？ 点睛列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示()(2)函数f(x)2x1不能用列表法表示()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线()答案：(1)(2)(3)2已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1x222x4f(x)123A.1B2C3 D不存在答案：C3.函数yf(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()ARB(，1)(1，)C(，0)(0，)D(1,0)答案：C4已知反比例函数f (x)满足f(3)6，f (x)的解析式为_答案：y函数的表示法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来解(1)列表法：x/台12345y/元3 0006 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000 (2)图象法：(3)解析法：y3 000x，x1,2,3，10理解函数的表示法3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主 活学活用1已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321则f ( g(1)的值为_；当g ( f (x)2时，x_.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)3，f ( g(1)f (3)1.由于g (2)2，f (x)2，x1.函数图象的作法及应用答案：11例2作出下列函数的图象并求出其值域(1)y2x1，x0,2；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2,2解(1)当x0,2时，图象是直线y2x1的一部分，观察图象可知，其值域为1,5 (2)当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分，观察图象可知其值域为(0,1(3)当2x2时，图象是抛物线yx22x的一部分由图可得函数的值域是1,8作函数yf(x)图象的方法(1)若yf(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍(2)若yf(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出yf(x)的图象 活学活用2作出下列函数的图象：(1)y1x(xZ)；(2)yx24x3，x1,3解：(1)因为xZ，所以图象为直线y1x上的孤立点，其图象如图所示(2)yx24x3(x2)21，当x1,3时，y0；当x2时，y1，其图象如图所示函数解析式的求法例3求下列函数的解析式： (1)已知函数f (1)x2，求f (x)；(2)已知函数f (x)是二次函数，且f (0)1，f (x1)f (x)2x，求f (x)解(1)法一换元法设t1，则x(t1)2(t1)f (t)(t1)22(t1)t22t12t2t21，f (x)x21(x1)法二配凑法x2()2211(1)21，f (1)(1)21(11)，f (x)x21(x1)(2)设f (x)ax2bxc(a0)f (0)1，c1.又f (x1)f (x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，整理，得2ax(ab)2x.由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，解得f(x)x2x1.求函数解析式的4种常用求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 活学活用3已知f (x1)x23x2，求f (x)解：法一(配凑法)：f (x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6，f (x)x25x6.法二(换元法)：令tx1，则xt1，f (t)(t1)23(t1)2t25t6，即f (x)x25x6.4已知函数f(x)是一次函数，若f ( f (x)4x8，求f (x)的解析式解：设f (x)axb(a0)，则f ( f (x)f ( axb)a(axb)ba2xabb.又f ( f (x)4x8，a2xabb4x8，即，解得或f (x)2x或f (x)2x8.5已知f (x)2f (x)x22x，求f (x)解：f (x)2 f (x)x22x， 将x换成x，得f (x)2 f (x)x22x. 由得3 f (x)x26x，f (x)x22x.层级一学业水平达标1已知函数yf(x)的对应关系如下表，函数yg(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2)的值为()A3B2C1 D0解析：选B由函数g(x)的图象知，g(2)1，则f (g(2)f(1)2.2如果f ，则当x0,1时，f (x)等于()A. B.C. D.1解析：选B令t，则x，代入f ，则有f(t)，故选B.3若f (x)是一次函数，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，则f(x)()A3x2 B3x2C2x3 D2x3解析：选B设f(x)axb，由题设有解得所以选B.4设f (x)2x3，g(x)f (x2)，则g(x)()A2x1B2x1C2x3 D2x7解析：选Bf(x)2x3，f(x2)2(x2)32x1，即g(x)2x1，故选B.5若f (12x)(x0)，那么f 等于()A1 B3C15 D30解析：选C令12xt，则x(t1)，f (t)1(t1)，即f (x)1(x1)，f 16115.6已知函数f (x)由下表给出，则f ( f (3)_.x1234f(x)3241解析：由题设给出的表知f (3)4，则f ( f (3)f(4)1.答案：17已知函数f(x)x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为_解析：将点(5,4)代入f(x)x，得m5.答案：58已知f(x)是一次函数，满足3f (x1)6x4，则f(x)_.解析：设f (x)axb(a0)，则f (x1)a(x1)baxab，依题设，3ax3a3b6x4，则f(x)2x.答案：2x9(1)已知函数f (x)x2，求f (x1)；(2)已知函数f (x1)x2，求f (x)解：(1)f ( x1)(x1)2x22x1.(2)法一(配凑法)：因为f (x1)x2(x1)22(x1)1，所以f (x)x22x1.法二(换元法)：令tx1，则xt1，可得f (t)(t1)2t22t1，即f(x)x22x1.10已知f (x)是一次函数，且满足3f (x1)2f (x1)2x17，求f (x)的解析式解：设f (x)axb(a0)，则3 f (x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f (x)2x7.层级二应试能力达标1已知函数f (x1)x2x3，那么f (x1)的表达式是()Af (x1)x25x9Bf (x1)x2x3Cf (x1)x25x9 Df (x1)x2x1解析：选Cf(x1)(x1)23(x1)5，所以f(x)x23x5，f(x1)(x1)23(x1)5x25x9，故选C.2若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为()A. B.C(1,3) D(2,1)解析：选A设一次函数的解析式为ykxb(k0)，由该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得解得，所以此函数的解析式为y2x4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式故选A.3设f (x)2xa，g(x)(x23)，且g(f (x)x2x1，则a的值为()A1 B1C1或1 D1或2解析：选B因为g(x)(x23)，所以g(f(x)(2xa)23(4x24axa23)x2x1，求得a1.故选B.4函数yf(x)(f(x)0)的图象与x1的交点个数是()A1 B2C0或1 D1或2解析：选C结合函数的定义可知，如果f：AB成立，则任意xA，则有唯一确定的B与之对应，由于x1不一定是定义域中的数，故x1可能与函数yf(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x1至多有一个交点5已知x0，函数f(x)满足f x2，则f(x)_.解析：f x222，所以f(x)x22.答案：x226已知函数f (2x1)3x2，且f (a)4，则a_.解析：因为f (2x1)(2x1)，所以f (a)a.又f(a)4，所以a4，a.答案：7已知函数f(x)(a，b为常数，且a0)满足f(2)1，且f(x)x有唯一解，求函数yf(x)的解析式和f(f(3)的值解：因为f(2)1，所以1，即2ab2，又因为f(x)x有唯一解，即x有唯一解，所以ax2(b1)x0有两个相等的实数根，所以(b1)20，即b1.代入得a.所以f(x).所以f(f(3)ff(6).8某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为：yax.且当x2时，y100；当x7时，y35.且此产品生产件数不超过20件(1)写出函数y关于x的解析式；(2)用列表法表示此函数，并画出图象解：(1)将与代入yax中，得所以所求函数解析式为yx(xN,00，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()答案：(1)(2)(3)(4)2已知f(x)则f(2)()A2B4C2 D2或4答案：A3已知集合Aa，b，集合B0,1，下列对应不是A到B的映射的是()答案：C4函数f(x)的定义域为_答案：1，)映射的概念例1下列对应是不是从A到B的映射？(1)ABN*，f：x|x3|；(2)AN，BQ，f：x；(3)Ax|1x2，By|2y5，f：xy2x.解(1)当x3A时，|x3|0B，即A中的元素3在B中没有元素与之对应，所以(1)不是映射(2)当x0A时，无意义，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以(2)不是映射(3)当1x2时，22x4，而且对于A中每一个x值，按照对应关系y2x，在B中都有唯一的元素与之对应，所以(3)是映射判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应(2)B中的对应元素是不是唯一的 点睛“一对一”或“多对一”的对应才可能是映射活学活用1已知A1,2,3，9，BR，从集合A到集合B的映射f：x.(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？解：(1)A中元素1，即x1，代入对应关系得，即与A中元素1相对应的B中的元素是.(2)B中元素，即，解得x4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.分段函数求值例2已知函数f(x)(1)求f的值；(2)若f(x)，求x的值解(1)因为f2，所以ff.(2)f(x)，若|x|1，则|x1|2，得x或x.因为|x|1，所以x的值不存在；若|x|1，则，得x，符合|x|1.所以若f(x)，x的值为.1求分段函数的函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验 活学活用2已知f(x)则f(5)的值等于_解析：f(5)f(52)f(3)f(32)f(1)f(12)f(1)212.答案：23函数f(x)若f(x0)8，则x0_.解析：当x02时，f(x0)x28，即x6，x0或x0(舍去)；当x02时，f(x0)x0，x010.综上可知，x0或x010.答案：或10分段函数的图象及应用题点一：分段函数的图象的判定1函数f(x)|x1|的图象是()解析：选B法一：函数的解析式可化为y画出此分段函数的图象，故选B.法二：由f(1)2，知图象过点(1,2)，排除A、C、D，故选B.题点二：分段函数图象的作法2已知f(x)画出f(x)的图象解：利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示题点三：由函数的图象确定其解析式3已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式是_解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当1x0，BR，f：x|y|x2BA2,0,2，B4，f：xyx2CAR，By|y0，f：xyDA0,2，B0,1，f：xy解析：选D对于A，集合A中元素1在集合B中有两个元素与之对应；对于B，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应；对于C，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应故A、B、C均不能构成映射2已知f(x)则f(f(7)的值为()A100B10C10 D100解析：选Af(x)f(7)10.f(f(7)f(10)1010100.3下列图形是函数yx|x|的图象的是()解析：选D函数yx|x|故选D.4已知集合Mx|0x4，N0|0y2，按对应关系f不能构成从M到N的映射的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xy解析：选C因为当x4时，y4N，所以C中的对应关系f不能构成从M到N的映射5函数f(x)的值域是()AR B0,23C0，) D0,3解析：选B先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域6已知f(x)则f_.解析：依题意，得f3，则ff(3)3218.答案：87函数f(x)若f(x)3，则x的值是_解析：当x1时，x23，得x1舍去，当1x2时，由2x08，得x04.x04.10已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域解：(1)当0x2时，f(x)11，当2x0时，令2x5，得x，不合题意，舍去3已知映射f：AB，其中集合A3，2，1,1,2,3,4，集合B中的元素在A中都能找到元素与之对应，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是()A4 B5C6D7解析：选A注意到对应法则是f：a|a|，因此3和3对应集合B中的元素3；2和2对应集合B中的元素2；1和1对应集合B中的元素1；4对应集合B中的元素4.所以B1,2,3,4，有4个元素4某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为()A13立方米 B14立方米C18立方米 D26立方米解析：选A该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y由y16m，可知x10.令2mx10m16m，解得x13.5函数f(x)的值域是_解析：当x0时，f(x)1，当2x0时，2f(x)4，f(x)1或21，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，f(a)a11，解得a4，符合a0；当a1，无解答案：(4，)7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)(1)求f(f(0)的值；(2)求函数f(x)的解析式解：(1)直接由图中观察，可得f(f(0)f(4)2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为ykxb，将与代入，解得得y2x4(0x2)同理，线段BC所对应的函数解析式为yx2(2x6)f(x)8A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象解：(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s50t，到达B地所需时间为3(小时)(2)汽车在B地停留2小时，则有s150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s15060(t5)45060t，从B地到A地用时2.5(小时)综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s函数图象如图所示
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