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考点规范练27数列的概念与简单表示法基础巩固组1.数列1,-3,5,-7,9,的一个通项公式为()A.an=2n-1B.an=(-1)n(2n-1)C.an=(-1)n+1(2n-1)D.an=(-1)n(2n+1)答案C解析由数列中的项为1,-3,5,-7,9,可以看出:符号正负相间,各项的绝对值为1,3,5,7,9恰好构成一等差数列,设其为bn,则其通项公式为bn=2n-1.因此数列1,-3,5,-7,9,的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).故选C.2.若数列an的前n项和Sn=n2+n,则a4的值为()A.4B.6C.8D.10答案C解析由题意得a4=S4-S3=20-12=8.3.设Sn为数列an的前n项和,且Sn=32(an-1)(nN*),则an=()A.3(3n-2n)B.3n+2C.3nD.32n-1答案C解析当n2时,an=Sn-Sn-1=32(an-1)-32(an-1-1),整理,得an=3an-1,即anan-1=3,由a1=32(a1-1),得a1=3,数列an是以3为首项,3为公比的等比数列,an=3n.故选C.4.(2018浙江浦江模拟)在数列an中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(nN*)的个位数,则a2 019=()A.8B.6C.4D.2答案C解析由题意可得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8;观察可知数列an中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6.故从第3项开始算起,2019-2=2017,2017=3366+1,a2019=a3=4,应选C.5.若数列an满足an+1+an=2n-3,a1=2,则a8-a4=()A.7B.6C.5D.4答案D解析依题意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=2(n+1)-3-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.6.已知数列an中,首项a1=1,an=an-13n-1(n2,nN*),则数列bn的通项公式为.答案an=3n(n-1)2解析an=anan-1an-1an-2a2a1a1=3n-13n-231=3n(n-1)2,又a1也满足上式,an=3n(n-1)2.7.若数列an满足a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN*),则数列an的通项公式an=.答案3n解析a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把n替换成n-1得a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两项相减得an=3n.8.若数列an满足a1=2,an+1=1+an1-an(nN*),则该数列的前2 018项的乘积a1a2a3a2 018=.答案-6解析经计算,得a1=2,a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,则数列an是以4为周期的一个周期数列.a1a2a3a4=1,a1a2a2013a2014a2018=2(-3)=-6.能力提升组9.已知数列an中的任意一项都为正实数,且对任意m,nN*,有aman=am+n,如果a10=32,那么a1的值为()A.-2B.2C.2D.-2答案C解析令m=1,则an+1an=a1,所以数列an是以a1为首项,公比为a1的等比数列,从而an=a1n,因为a10=512,所以a1=2.10.(2018浙江春晖中学模拟)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99=()A.100B.2C.-2D.-100答案C解析因为y=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线斜率为n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=1-1n+1=nn+1,所以an=lgxn=lgnn+1.所以a1+a2+a99=lg122399100=lg1100=-2.11.已知数列an满足:a1=1,an+1=anan+2(nN*).若bn+1=(n-)1an+1,b1=-,且数列bn是单调递增数列,则实数的取值范围为()A.2B.3C.2D.bn,得2n(n-)2n-1(n-1-),即n+1恒成立.而n+1的最小值为2,故的取值范围为0.an+1an.数列an是单调递增数列,由an+1-1=an2-an=an(an-1),1an+1-1=1an(an-1)=1an-1-1an.1an=1an-1-1an+1-1.m=1a1+1a2+1a2017=1a1-1-1a2-1+1a2-1-1a3-1+1a2017-1-1a2018-1=1a1-1-1a2018-1=3-1a2018-1.由a1=431,则an+1-an=(an-1)20,a2=1+49,a3=1+5281,a4=1+691665612,a20182,01a2018-11.2man,则实数k的取值范围是.答案-2(-3,+)解析(1)因为an=n2-5n+4=n-522-94,所以由二次函数性质可知当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由an+1an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以-k2-3.所以实数k的取值范围为(-3,+).15.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图,他们研究过图中的1,5,12,22,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数.若按此规律继续下去,第n个五角形数an=.答案32n2-12n解析观察图象,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n2时,an=an-1+3n-2,则an-an-1=3n-2.故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(3n-2)+3(n-1)-2+(32-2)+1=32n2-12n.16.(2018浙江嘉兴一中模拟)已知数列an中,a1=1,且an+an+1=2n,则数列an的通项公式是.答案an=132n+13,n为奇数,132n-13,n为偶数解析an+an+1=2n,an+1+an+2=2n+1,-,得an+2-an=2n,由a1=1,a1+a2=2,得a2=1.当n为奇数时,an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+(a3-a1)+a1=2n-2+2n-4+2+1=132n+13;当n为偶数时,an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+(a4-a2)+a2=2n-2+2n-4+22+1=132n-13.故数列an的通项公式是an=132n+13,n为奇数,132n-13,n为偶数.17.已知数列an中,an=1+1a+2(n-1)(nN*,aR且a0).(1)若a=-7,求数列an中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的nN*,都有ana6成立,求a的取值范围.解(1)an=1+1a+2(n-1)(nN*,aR,且a0),a=-7,an=1+12n-9(nN*).结合函数f(x)=1+12x-9的单调性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN*).数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)an=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2,已知对任意的nN*,都有ana6成立,结合函数f(x)=1+12x-2-a2的单调性,可知52-a26,即-10a0,当n2时,数列bn是递增数列,则(2n-1)(2n+1)2(n-1)152.实数t的取值范围是-,152.
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