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第4讲导数的热点问题考情考向分析利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力例1(2018全国)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0,2)(2)证明当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1(x(0，)，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.跟踪演练1(2018全国)已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当a1时，f(x)e0.(1)解f(x)，f(0)2，f(0)1.因此曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程是2xy10.(2)证明当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1.当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解例2(2018雅安三诊)设函数f(x)(x1)exx2.(1)当k0，解得x0，令f(x)0，解得x0，所以f(x)的单调递减区间是(，0)，单调递增区间是(0，)，当0k0，解得x0，令f(x)0，解得ln kx0，所以f(x)的单调递增区间是和(0，)，单调递减区间是(ln k,0)(2)f(0)1，当k0，又f(x)在0，)上单调递增，所以函数f(x)在0，)上只有一个零点在区间(，0)中，因为f(x)(x1)exx2x1x2，取x1(，0)，于是f120，又f(x)在(，0)上单调递减，故f(x)在(，0)上也只有一个零点，所以函数f(x)在定义域(，)上有两个零点；当k0时，f(x)(x1)ex在单调递增区间0，)内，只有f(1)0.而在区间(，0)内，f(x)0，即f(x)在此区间内无零点所以函数f(x)在定义域(，)上只有唯一的零点综上所述，当k1时，令g(x)0，解得x1，x2.可得g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，)上单调递增所以g(x)的极大值为g(x1)g60.g(x)的极小值为g(x2)g6.若g(x2)0，则由g(x)的单调性可知函数yg(x)至多有两个零点，不合题意若g(x2)27，也就是|d|，此时|d|x2，g(|d|)|d|60，且2|d|x1，g(2|d|)6|d|32|d|66260，从而由g(x)的单调性，可知函数yg(x)在区间(2|d|，x1)，(x1，x2)，(x2，|d|)内各有一个零点，符合题意所以d的取值范围是(，)(，)热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优例3罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)32n(n1)(2)x32(2)xm2m32(0xm)(2)当m96时，f(x)96160，则f(x)96(x64)令f(x)0，得x64，所以x16.当0x16时，f(x)0，f(x)在区间(0,16)内为减函数；当16x0，f(x)在区间(16,96)内为增函数，所以f(x)在x16处取得最小值，此时n15.答需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大解(1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x.所以42x2yx，得y.依题意知0xy，得0x.所以y .(2)依题意，得TABS2x8x2(43)x3.令T16x3(43)x20，得x0或x.因为0，所以当0x0，T为关于x的增函数；当x时，T0，T为关于x的减函数，所以当x时凹槽的强度最大真题体验(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)(i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点(ii)若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a(0,1)时，1ln a0，即f(ln a)2e220，故f(x)在(，ln a)上有一个零点设正整数n0满足n0ln，则f(n0)(aa2)n0n0n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)上有一个零点综上，a的取值范围为(0,1)押题预测已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数(1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间(0,1)上是增函数；(2)证明：in 0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力(1)证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，G(x)acos(1x)(x0)，当x(0,1)，01,0cos(1x)1，acos(1x)0，故函数G(x)在区间(0,1)上是增函数(2)证明由(1)知，当a1时，G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上单调递增sin(1x)ln xG(1)0，sin(1x)ln(0x1)令1x，所以x.sinsinlnlnln，in，ln 2ln 0，m0恒成立，即当x(0，)时，Fmin0.又设h(x)Fex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)单调递增，又h(0)0，则必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，F(x)F(x0)mx2x0b20，则bmx2x02，又2mx020，m，bx2x02x02，又mx02，x0(0，ln 2)恒成立，令m(x)exx2，x(0，ln 2)，则m(x)(x1)ex1，令n(x)(x1)ex1，则n(x)xex0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)m(0)0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少解(1)由题意，得下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)；水底作业时的用氧量为100.99(升)；返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，总用氧量y9(v0)(2)y，令y0，得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调递增，当0c10时，函数在(c,10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，当v10时总用氧量最少，当c10时，y在c,15上单调递增，当vc时总用氧量最少综上，若0c0时，f(x)g(x)(1)解因为f(x)1，若a0，则f(x)0在定义域内恒成立，f(x)在(，0)，(0，)上单调递增；若a0，则由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得x0)，h(x)1(x0)，设p(x)x2xa，则由a0知，方程p(x)0的判别式14a0，设p(x)0的正根为x0，xx0a0，p(1)11aa1，又p(0)a0恒成立，F(x)在(1，)上为增函数，又F(1)2020，F(x)0，即h(x)min0，当x(0，)且a0时，f(x)g(x)3(2018长春模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)xm(mR)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知x1，x2是函数F(x)f(x)g(x)的两个零点，且x1x2，求证：x1x20)，则F(x)1(x0)，当x1时，F(x)0，当0x0，所以F(x)在(1，)上单调递减，在(0,1)上单调递增，F(x)在x1处取得最大值1m，若f(x)g(x)恒成立，则1m0，即m1.(2)证明由(1)可知，若函数F(x)f(x)g(x)有两个零点，则m1,0x11x2，要证x1x21，只需证x2F，由F(x1)F(x2)0，mln x1x1，即证lnmlnx1ln x10，令h(x)x2ln x(0x0，故h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)h(1)0，所以x1x20得x0，由f(x)0得x0，f(0)10，f(x)有两个零点(2)证明f(x)ex2x，x0是f(x)的极值点，f(0)a10，a1，f(x)(x1)exx2，故要证(x1)exln(x1)x1，令x1t，t0，即证tet1ln tt2(t0)，设h(x)exexln xx2(x0)，即证h(x)0(x0)，h(x)eex(x1)1e(x1)(x0)，令u(x)ex(x0)，u(x)ex0，u(x)在(0，)上单调递增，又u(1)e0，ue0，故u(x)0有唯一的根x0(0,1)，当0xx0时，u(x)0，h(x)x0时，u(x)0，h(x)0，h(x)h(x0)ex0ln x0x02ex0ln x021x01x020.综上得证5(2018滨海新区七所重点学校联考)已知函数f(x)ln x(其中a0，e2.7)(1)当a1时，求函数f(x)在(1，f(1)点处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间2，)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)求证：对于任意大于1的正整数n，都有ln n.(1)解f(x)ln x，f(x)(x0)，f(1)0，f(1)0，f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y0.(2)解f(x)ln x，f(x)(x0，a0)，f(x)在2，)上为增函数，f(x)0对任意x2，)恒成立ax10对任意x2，)恒成立，即a对任意x2，)恒成立当x2，)时，max，a，即所求正实数a的取值范围是.(3)证明当a1时，f(x)ln x，f(x)，当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数则当x1时，f(x)f(1)0，当n1时，令x1，f(x)lnln0，ln，ln，ln，ln，lnlnln，即ln，ln n，即对于任意大于1的正整数n，都有ln n.B组能力提高6已知函数f(x)ex2ln x，g(x)x2axb(a，bR)(1)若对任意的x(0，)，不等式f(x)x2m2ln x恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对任意的实数a，函数F(x)f(x)g(x)x22ln x在(0，)上总有零点，求实数b的取值范围解(1)对任意的x(0，)，不等式f(x)x2m2ln x恒成立可转化为不等式mexx2在(0，)上恒成立令m(x)exx2，x0，)，则m(x)ex2x，令n(x)m(x)ex2x，则n(x)ex2，故当x(0，ln 2)时，n(x)0，n(x)单调递增从而当x0，)时，n(x)n(ln 2)22ln 20，即m(x)0，所以m(x)在0，)上单调递增，m(x)的最小值是m(0)1，所以m1，即m的取值范围为(，1(2)函数F(x)f(x)g(x)x22ln x在(0，)上总有零点，即F(x)exaxb在(0，)上总有零点若a0，则F(x)exaxb在(0，)上单调递增，故F(x)在(0，)上总有零点的必要条件是F(0)1.以下证明：当b1时，F(x)exaxb在(0，)上总有零点若a0，由于F(0)1b0，且F(x)在(0，)上连续，故F(x)在上必有零点；若a0，F(0)1bx21x2在x(0，)时恒成立，取x0ab0，则F(x0)F(ab)eaba(ab)b(ab)2a2abbabb(b1)0，由于F(0)1b0，故F(x)在(0，ab)上必有零点综上，实数b的取值范围是(1，)7已知x1为函数f(x)(x2ax)ln xx的一个极值点(1)求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)若方程f(x)mx22x有且只有一个实数根，求实数m的值解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)(x2ax)(2xa)ln x1x(2xa)ln x(a1)因为x1为函数f(x)的一个极值点，所以f(1)1(2a)ln 1(a1)2a0，解得a2.故f(x)(x22x)ln xx，f(x)x(2x2)ln x1(x1)(12ln x)令f(x)0，解得x11，x2.当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增(2)方程f(x)mx22x，即(x22x)ln xxmx22x，整理得(x22x)ln xxmx2.因为x0，所以m.令g(x)ln x，则g(x)ln x.令h(x)2ln xx1，则h(x)10恒成立，所以函数h(x)在(0，)上单调递增又h(1)0，所以当x(0,1)时，h(x)0，即g(x)0，即g(x)0，g(x)单调递增所以g(x)的最小值为g(1)10，当x0或x时，g(x)，所以当f(x)mx22x有且只有一个实数根时，m1.
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