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第27练导数的综合应用明晰考情1.命题角度：函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.2.题目难度：偏难题.考点一利用导数研究函数的零点(方程的根)方法技巧求解函数零点(方程根)的个数问题的基本思路(1)转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题.(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象.(3)结合图象求解.1.设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围.解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.f(0)c，f(0)b，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为ybxc.(2)当ab4时，f(x)x34x24xc，f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.当x变化时，f(x)与f(x)在区间(，)上的变化情况如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc当c0且c0时，f(4)c160，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点.2.(2018东莞模拟)已知函数f(x)ex2x1.(1)求曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线方程；(2)设g(x)af(x)(1a)ex，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围.解(1)由题意知f(x)ex2，kf(0)121，又f(0)e02010，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为yx.(2)g(x)ex2axa，g(x)ex2a.当a0时，g(x)0，g(x)在R上单调递增，不符合题意.当a0时，令g(x)0，得xln(2a)，在(，ln(2a)上，g(x)0，g(x)在(，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增，g(x)极小值g(ln(2a)2a2aln(2a)aa2aln(2a).g(x)有两个零点，g(x)极小值0，即a2aln(2a)0，ln(2a)，解得a，实数a的取值范围为.3.(2018新余模拟)已知函数f(x)(x1)exax2，aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a).若a0，则当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.故函数f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.当a0时，由f(x)0，解得x0或xln(2a).()若ln(2a)0，即a，则xR，f(x)x(ex1)0，故f(x)在(，)上单调递增；()若ln(2a)0，即a0；当x(ln(2a)，0)时，f(x)0，即a0；当x(0，ln(2a)时，f(x)0时，由(1)知，函数f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.因为f(0)10，取实数b满足b2且ba(b1)ab2a(b2b1)a(421)0，所以f(x)有两个零点；若a0，则f(x)(x1)ex，故f(x)只有一个零点.若a0，由(1)知，当a时，则f(x)在(0，)上单调递增，又当x0时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点；当ag(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.其中找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口.4.设函数f(x)lnxx1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，10)，得f(x)1.令f(x)0，解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减.因此，f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数.(2)证明当x(1，)时，1x，即为lnxx11时，f(x)0恒成立，即f(x)在(1，)上单调递减，可得f(x)f(1)0，即有lnx1，则F(x)1lnx1lnx，当x1时，F(x)0，可得F(x)在(1，)上单调递增，即有F(x)F(1)0，即有xlnxx1.综上，原不等式得证.5.(2018全国)已知函数f(x)aexlnx1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exlnx1，f(x)ex.当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0,2).(2)证明当a时，f(x)lnx1.设g(x)lnx1(x(0，)，则g(x).当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点.故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.6.设函数f(x)e2xalnx.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0).当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增.又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点.(2)证明由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于0，所以f(x0)alnx02ax02ax0alnx02ax0aln2aaln.当且仅当x0时，取等号.故当a0时，f(x)2aaln.考点三不等式恒成立或有解问题方法技巧不等式恒成立、能成立问题常用解法(1)分离参数后转化为求最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如af(x)max或af(x)min.(2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，注意对参数的分类讨论.(3)数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视函数性质的灵活应用.7.已知函数f(x)exex2ax(aR).(1)若f(x)在(0,1)上单调，求a的取值范围；(2)若函数yf(x)exlnx的图象恒在x轴上方，求a的最小整数解.解(1)由题意知，f(x)ex2exa，令h(x)ex2exa，则h(x)ex2e，当x(0,1)时，h(x)0恒成立，令g(x)xlnx(x0)，g(x)，令t(x)ex1x，t(x)ex11，当x1时，t(x)0，t(x)单调递增，当0x1时，t(x)0，t(x)单调递减，t(x)t(1)0，ex1x0.当x1时，g(x)单调递增，当0x0，故a的最小整数解为1.8.已知函数f(x)lnx.(1)若函数g(x)f(x)axx2有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有实数解，求整数m的最大值.解(1)g(x)lnxaxx2(x0)，则g(x)，由题意得方程x2ax10有两个不等的正实数根，设两根为x1，x2，则即a的取值范围为(2，).(2)方程lnxm(x1)，即m，设h(x)(x0)，则h(x)，令(x)lnx(x0)，则(x)0，h(e2)0，h(x)单调递增；当x(x0，)时，h(x)0，h(x)单调递减，h(x)max，即mh(x)max(mZ)，故m0，经检验当m0时满足题意，整数m的最大值为0.9.(2017全国)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围.解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增.(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上单调递减.而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a0(x0)，所以g(x)在0，)上单调递增.而g(0)0，故exx1.当0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.当a0时，取x0，则x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围是1，).典例(12分)已知函数f(x)lnxmxm，mR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)0在x(0，)上恒成立，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，对任意的0ab，求证：.审题路线图(1)(2)(3)规范解答评分标准(1)解f(x)m(x(0，).当m0时，f(x)0恒成立，则函数f(x)在(0，)上单调递增；当m0时，由f(x)m0，可得x，则f(x)在上单调递增，由f(x)m0，可得x，则f(x)在上单调递减.4分(2)解由(1)知，当m0时显然不成立；当m0时，f(x)maxfln1mmlnm1，只需mlnm10即可，令g(x)xlnx1，则g(x)1，函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(x)ming(1)0.故f(x)0在x(0，)上恒成立时，m1.8分(3)证明11，由0ab，得1，由(2)得00.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点.(1)解函数的定义域为(0，).由f(x)klnx(k0)，得f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去).f(x)与f(x)在区间(0，)上随x的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，).f(x)在x处取得极小值f()，无极大值.(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，上单调递减且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点；当ke时，f(x)在区间(1，上单调递减且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点.2.(2017全国)已知函数f(x)lnxax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增.若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.综上，当a0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明由(1)知，当a0)，则g(x)1.当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0，得0x1，由f(x)1，f(x)1lnx在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减.f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，).(2)解由(1)得f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，f(x)在上的最大值为f(1)1ln10.又f1eln2e，f(e)1lne，且f0).(1)设(x)f(x)1a，求(x)的最小值；(2)若在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的取值范围.解(1)(x)f(x)1aalnxa(x0)，则(x)，令(x)0，得x1.当0x1时，(x)1时，(x)0.(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数.故(x)在x1处取得极小值，也是最小值.(x)min(1)0.(2)由f(x)x，得alnx1x，即a.令g(x)(1xe)，则g(x).令h(x)lnx(1x0.故h(x)在区间(1，e)上单调递增，所以h(x)h(1)0.因为h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在区间(1，e)上单调递增，则g(x)g(e)e1，即e1，所以实数a的取值范围为e1，).
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