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黔东南州2017-2018学年高三第一次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合.故选A.2. 设是虚数单位,复数，则复数的模为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数.复数的模为：.故选D.3. 近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有2500人，年龄在岁的有1200人，则的值为（ ）A. 0.013 B. 0.13 C. 0.012 D. 0.12【答案】C【解析】由题意，得年龄在范围岁的频率为，则赞成高校招生改革的市民有，因为年龄在范围岁的有1200人，则.故选C.4. 若，且是第二象限角，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：已知由二倍角公式化简可得：，因为，且是第二象限角，所以可得，代入上式化简即可得D考点：1二倍角公式；2同角三角函数基本关系式5. 已知向量，且，则向量的坐标为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设，则，解得或，故向量的坐标为或.故选C.6. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：），且该三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）A. 5 B. 10 C. 15 D. 30【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面三角形两直角边长分别为3，5，设该三棱锥的高为H，将该三棱锥补成长方体可知，该三棱锥的外接球的直径为，该三棱锥的外接球的表面积为，解得，所以该三棱锥的体积为，故选B.7. 已知实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由，得，平移直线，当经过点，时，代入的取值为，所以，故选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8. 下列程序框图输出的的值为（ ）A. 5 B. 0 C. -5 D. 10【答案】A【解析】该题的算法功能是求数列的前10项和，由于数列的周期为2，且每一个周期内的两项之和为0，故数列的前10项和为0，数列从第一项开始，每两项之和，所以前10项之和为5，故数列的前10项和为0+5=5，故选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，定义域为 ，所以函数是偶函数，图象应关于 轴对称，当 时， ，故选A.【点睛】已知函数解析式求函数图像和已知图像求函数解析式也是高考考查的热点，本题是知道解析式求函数图像，需注意几个问题，（1）注意函数的定义域，从而判断函数图像的位置，（2）从函数的单调性，判断函数图像的变化或趋势，（3）判断函数是否具有奇偶性，判断函数图像的对称性，（4）从特殊点出发，排除选项，（5）或 时函数图像的变化趋势等来判断图像.10. 在中，若，则圆与直线的位置关系是（ ）A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定【答案】A【解析】因为，所以.故圆心到直线的距离，故圆与直线相切，故选A.11. 把离心率的曲线称之为黄金双曲线若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（ ）A. 无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交点【答案】D【解析】由题意知，所以，因为，所以，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选D.12. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出函数的图象如下：方程有两个不相等的实数根等价于函数与的图象有两个不同的交点，有图可知，.故选C.点睛：方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于_【答案】-9【解析】.函数求导得：.令.得，解得：.所以，.答案为-9.14. 在中，角所对的边分别是，若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为，则满足条件的三角形恰有两解的概率是_【答案】【解析】根据题意，a、b的情况均有6种，则将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数的情况有66=36种；在ABC中,由正弦定理可得，则b=2asinB，若ABC有两个解,必有B90，则有b2a，若ba，则C为钝角，只有一解，故有ab2a，符合此条件的情况有：b=3，a=2；b=4，a=3；b=5，a=3；b=5，a=4；b=6，a=4；b=6，a=5；共6种；则ABC有两个解的概率为，答案为:.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.15. 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是_【答案】【解析】试题分析：因为圆的方程可化为，圆心，半径为，依题作出草图，可知,所以四边形面积的最小值就是的最小值,而,本题要求出最小的的值,即为圆心到直线的最短距离,所以，即四边形面积的最小值是.考点：1.点到直线的距离；2.切线的性质；3.转换的思想.16. 定长为4的线段两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为_【答案】【解析】设，抛物线的交点为F，抛物线的准线，所求的距离，（两边之和大于第三边且M,N,F三点共线时取等号），所以.答案为：.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用累乘法求数列通项即可；（2）利用乘公比错位相减即可求和.试题解析：（1），以上式子相乘得，代入，得，又符合上式，故数列的通项公式为（2），两式相减，得点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为，对服务好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次（1）是否可以在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率注：1.注2. 【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知列出关于商品和服务评价的22列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（2）采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，利用枚举法得到从5次交易中，取出2次的所有取法，查出其中只有一次好评的情况数，然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率试题解析：（1）由题意可得关于商品评价和服务评价的列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200所以，所以可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为，不满意的交易为.从5次交易中，取出2次的所有取法共计10种情况其中只有一次好评的情况是，共计6种情况因此，只有一次好评的概率为19. 如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，为正三角形，且分别为的中点，平面，平面（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）证明：AD平面PEB，利用四边形ABCD为菱形，可得ADBC，即可证明BC平面PEB；（2）以E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF与平面PDC所成角的正弦值试题解析：（1）证明：因为平面，平面，所以，又平面平面，所以平面，由四边形菱形，得，所以平面（2）解：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，则，则点，设平面的法向量为，则由，解得，不妨令，得；又，所以与平面所成角的正弦值为20. 已知分别是椭圆的左、右焦点（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中，为坐标原点），求直线的斜率的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为 ，与方程联立，得到根与系数的关系，和 ，以及 ，根据向量的数量积可知，为锐角，即 ，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围. 试题解析：（1）易知. ，设，则，又.联立，解得，故. （2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立 由，得.又为锐角， 又.综可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.21. 已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若在上为单调函数，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）函数求导，求得函数的单调区间，利用函数的单调性即可求最值；（2）在上为单调函数，转为当时，或恒成立，即或对恒成立，令，求导求值即可.试题解析：（1）当时，.令，得或（舍）.2-0+极小值又当时，当时，函数的最小值为.（2），又在上为单调函数，当时，或恒成立，也就是或对恒成立，即或对恒成立.令，则.当时，.在上单调递减，又当时，；当时，故在上为单调函数时，实数的取值范围为.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系圆的极坐标方程哦，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点（1）求圆心的极坐标；（2）求点到直线距离的最大值【答案】（1）圆心的极坐标为；（2）.【解析】试题分析：（1）将圆：化为普通方程，得到其圆心，根据极坐标的定义可得其极坐标为；（2）把直线化为普通方程，因为直线与圆相交，根据其意义可得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径试题解析：（1）由，得，得，故圆的普通方程为，所以圆心坐标为，圆心的极坐标为（2）直线的参数方程为为参数）化为普通方程是，即直线的普通方程为，因为圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值考点：（1）极坐标方程化为普通方程；（2）参数方程化为普通方程；（3）点到直线的距离公式
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