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课时作业13变化率与导数、导数的计算 基础达标一、选择题1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)答案：C22019衡水调研曲线y1在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：y1，y，y|x12，曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案：A32019山西名校联考若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()Af(x)3cosx Bf(x)x3x2Cf(x)12sinx Df(x)exx解析：A选项中，f(x)3sinx，其图象不关于y轴对称，排除A选项；B选项中，f(x)3x22x，其图象的对称轴为x，排除B选项；C选项中，f(x)2cosx，其图象关于y轴对称；D选项中，f(x)ex1，其图象不关于y轴对称，排除D选项答案：C42019郑州市质量检测曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1,3) B(1,3)C(1,3)和(1,3) D(1，3)解析：f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故选C.答案：C52019合肥市高三第一次质量检测已知直线2xy10与曲线yaexx相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是()A. B1C2 De解析：由题意知yaex12，则a0，xlna，代入曲线方程得y1lna，所以切线方程为y(1lna)2(xlna)，即y2xlna12x1a1.答案：B62019福建福州八县联考已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln，则f(1)()Ae B2C2 De解析：由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.答案：B72019湖南株洲模拟设函数yxsinxcosx的图象在点(t，f(t)处的切线斜率为g(t)，则函数yg(t)图象的一部分可以是()解析：由yxsinxcosx可得ysinxxcosxsinxxcosx.则g(t)tcost，g(t)是奇函数，排除选项B，D；当x时，y0，排除选项C.故选A.答案：A82019广州市高三调研考试已知直线ykx2与曲线yxlnx相切，则实数k的值为()Aln2 B1C1ln2 D1ln2解析：由yxlnx知ylnx1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为yx0lnx0(lnx01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0lnx0(lnx01)(0x0)，解得x02，故k1ln2，选D.答案：D92019广东深圳模拟设函数f(x)xb，若曲线yf(x)在点(a，f(a)处的切线经过坐标原点，则ab()A1 B0C1 D2解析：由题意可得，f(a)ab，f(x)1，所以f(a)1，故切线方程是yab(xa)，将(0,0)代入得ab(a)，故b，故ab2，故选D.答案：D102019宝安，潮阳，桂城等八校第一次联考已知函数f(x)x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数ylnx，x(0,1)的图象相切，则x0必满足()A0x0 B.x01C.x0 D.x0解析：由题意，得f(x)2x，所以f(x0)2x0，f(x0)x，所以切线l的方程为y2x0(xx0)x2x0xx.因为l也与函数ylnx(0x1)的图象相切，设切点坐标为(x1，lnx1)，易知y，则切线l的方程为yxlnx11，则有又0x11，所以1ln2x0x，x0(1，)令g(x)x2ln2x1，x1，)，则g(x)2x0，所以g(x)在1，)上单调递增，又g(1)ln20，g()1ln20，所以存在x0(，)，使得g(x0)0，故x0，选D.答案：D二、填空题112018全国卷曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为y，y|x12，所以切线方程为y02(x1)，即y2x2.答案：y2x212过点P(1,1)与函数y相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为_解析：y，y，k1，切线方程y1(x1)即xy20，与x轴交点为(2,0)，与y轴交点为(0,2)，S222.答案：213已知直线yx1是函数f(x)ex图象的切线，则实数a_.解析：设切点为(x0，y0)，则f(x0)ex01，ex0a，又ex0x01，x02，ae2.答案：e2142019陕西省高三教学质量检测已知函数f(x)2lnx和直线l：2xy60，若点P是函数f(x)图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为_解析：如图，在同一平面直角坐标系内分别作出函数f(x)的大致图象以及直线l，并平移直线l使之与函数f(x)的图象恰好相切于点Q，由图易知，当且仅当点P与点Q重合时，点P到直线l的距离最短设点Q(x0，y0)，则由f(x)，可得f(x0)2，解得x01，所以y0f(x0)f(1)0，所以Q(1,0)，故点Q到直线l：2xy60的距离为，即.故点P到直线l的距离的最小值为.答案：能力挑战152019安徽淮南模拟已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)在函数f(x)x2lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由解析：(1)由题意可得f(1)1，且f(x)2x，f(1)211，则所求切线方程为y11(x1)，即yx.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2，不妨设x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得1，又函数f(x)2x在区间上单调递增，函数的值域为1,1，故12x12x21，据此有解得x1，x21，故存在两点，(1,1)满足题意
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