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第15讲圆锥曲线的方程与性质1.2017全国卷 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1试做命题角度考查圆锥曲线的定义和标准方程(1)定性:确定圆锥曲线的类型,确定焦点的位置,从而设出标准方程;(2)列方程(组):用待定系数法列出椭圆、双曲线或抛物线中关于a,b,c或p的方程(组);(3)得出结果.注意:要考虑到圆锥曲线的焦点位置无法确定的情况.2.(1)2018全国卷 已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1(2)2018全国卷 设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2(3)2018全国卷 已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14试做 命题角度离心率关键一:利用已知条件和椭圆、双曲线的定义或性质列出关于a,b,c的方程或不等式,求出ca的值或取值范围;关键二:双曲线离心率的取值范围为(1,+),椭圆离心率的取值范围为(0,1).3.(1)2016全国卷 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点,已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8(2)2013全国卷 设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x试做 命题角度圆与抛物线的综合问题关键一:利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离;关键二:注意圆的相关性质的应用.4.(1)2018全国卷 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8(2)2018全国卷 已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4(3)2016全国卷 已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34试做 命题角度直线与圆锥曲线的位置关系(1)问题表现为求点的坐标,直线的斜率,弦长,方程,及某个表达式的值等;(2)关键一:掌握圆锥曲线的定义;关键二:构建直线与圆锥曲线的方程组;关键三:用好平面几何的性质.小题1圆锥曲线的定义与标准方程1(1)已知圆C的圆心在抛物线y=4x2上,且该圆过抛物线的焦点,则圆上的点到直线y=-6的距离的最小值为()A.9516B.254C.5D.72(2)已知双曲线的焦距为4,A,B分别是其左、右焦点,点C在双曲线的右支上,ABC的周长为10,则|AC|的取值范围是()A.(2,5)B.(2,6)C.(3,5)D.(3,6)(3)已知椭圆的焦点F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是()A.x216+y29=1B.x216+y212=1C.x24+y23=1D.x23+y24=1听课笔记 【考场点拨】高考中圆锥曲线的定义的应用:(1)直接应用圆锥曲线的定义解题.利用两个线段的长度之和或者长度之差,以及将两种距离(如抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离)进行等量转化,建立关系式解题.(2)利用定义求最值.一般利用抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离进行转化,结合图形,简捷地求出答案.【自我检测】1.方程x2+y2m=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()A.(1,+)B.(-,1)C.(0,1)D.(-1,0)2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,抛物线上有一点P,若|PF|=5,则PFK的面积为()A.4B.5C.8D.103.已知F是椭圆C:x29+y25=1的左焦点,P为C上一点,A1,43,则|PA|+|PF|的最小值为()A.103B.113C.4D.1334.已知点C是圆F:(x-1)2+y2=16上任意一点,点F与点F关于原点对称,线段CF的中垂线与CF交于P点,则动点P的轨迹方程为.5.已知点P是以F1,F2为焦点的双曲线C:x2-y2=1上的一点,且|PF1|=3|PF2|,则PF1F2的周长为.小题2圆锥曲线的几何性质2(1)与椭圆C:y26+x22=1共焦点且渐近线方程为y=3x的双曲线的标准方程为()A.x2-y23=1B.x23-y2=1C.y2-x23=1D.y23-x2=1(2)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.343B.94C.983D.6332听课笔记 【考场点拨】高考中圆锥曲线的几何性质问题的解题思路:(1)在解题时利用好圆锥曲线中a,b,c,e的关系是解决问题的关键,特别注意椭圆中的a,b,c与双曲线中a,b,c的关系不同;(2)在求椭圆、双曲线的离心率时常利用方程思想,通过已知条件或隐含条件(常用a,b,c的关系)建立关于a,c或者e 的方程去求解,但要注意椭圆和双曲线离心率的取值范围.【自我检测】1.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为22,则实数m的值为()A.2B.2或83C.2或6D.2或82.设F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30,则双曲线C的渐近线方程是()A.y=22xB.y=2xC.y=12xD.y=2x3.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与直线x=a2c分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点,若60AFB0)的焦点F也是椭圆C2:y24+x2b2=1(b0)的一个焦点,点M,P32,1分别为曲线C1,C2上的点,则|MP|+|MF|的最小值为.小题3圆锥曲线与圆、直线的综合问题3(1)已知双曲线x29-y2b2=1(b0)的左顶点为A,虚轴长为8,右焦点为F,且F与双曲线的渐近线相切,若过点A作F的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|=()A.8B.42C.23D.43(2)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过F点且倾斜角为4的直线l与抛物线相交于A,B两点,若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点-p2,2,则该抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=16x听课笔记【考场点拨】高考中圆锥曲线综合问题的常考点:(1)直线与圆锥曲线的位置关系:判断位置关系;求弦长.当直线的斜率存在时,设直线的斜率为k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则它的弦长|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2或|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2.当直线的斜率不存在时,|AB|=|y1-y2|.(2)与中点弦有关的问题常利用点差法解决,即设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点为M(x0,y0),列出它们坐标之间的关系,再把A,B的坐标分别代入圆锥曲线的方程,然后作差化简,可得关于弦的斜率的表达式,最后结合已知对问题进行分析解决.(3)参数的取值范围问题:通常从两个途径入手:一是建立函数,通过求值域求取值范围;二是建立不等式,通过解不等式求取值范围.【自我检测】1.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F且倾斜角为3的直线l与抛物线相交于A,B两点,|AB|=8,则该抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=12xD.y2=6x2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1,过点F1作倾斜角为30的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为3b,则椭圆的离心率为()A.12B.22C.34D.323.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x23-y2=1D.x2-y23=14.已知F是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,A,B分别是C的左、右顶点,O为坐标原点,D为C上的一点,DFx轴,过点A的直线l与线段DF交于点E,与y轴交于点M,直线BE与y轴交于点N,若3|OM|=2|ON|,则双曲线C的离心率为()A.3B.4C.5D.6第15讲圆锥曲线的方程与性质 典型真题研析1.B解析双曲线的一条渐近线方程为y=52x,ba=52.又椭圆x212+y23=1与双曲线有公共焦点,c=3,则a2+b2=c2=9.由解得a=2,b=5,故双曲线C的方程为x24-y25=1.2.(1)D(2)C(3)D解析(1)在直角三角形PF1F2中,PF1PF2,PF2F1=60,|F1F2|=2c,|PF2|=c,|PF1|=3c.由椭圆的定义得3c+c=2a,C的离心率e=ca=23+1=3-1,故选D.(2)由题易知|PF2|=b,|OP|=a.过P向x轴作垂线,垂足为E,可知|PE|=abc,|F2E|=b2c,所以|PF1|2=abc2+2c-b2c2=(6|OP|)2=6a2,从而可得e=3.(3)由题意知A(-a,0),过A且斜率为36的直线方程为y=36(x+a),设P(x0,y0),则有 y0=36(x0+a).又PF1F2为等腰三角形,且F1F2P=120,所以kPF1=y0x0+c=tan30=33,kPF2=y0x0-c=tan60=3.联立,消去x0,y0,得ca=14,即C的离心率为14.3.(1)B(2)C解析 设抛物线方程为y2=2px(p0),点A在第一象限,点D在第二象限.根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为22,代入抛物线方程得x=4p,即点A4p,22.易知点D-p2,5,由于点A,D都在以坐标原点为圆心的圆上,所以16p2+8=p24+5,解得p=4,此即为抛物线的焦点到准线的距离.(2)抛物线焦点为Fp2,0,由抛物线的定义,设M5-p2,2p(5-p2),设N点坐标为(0,2).因为圆过点N(0,2),故NFNM2-p22p(5-p2)-25-p2=-1,设p(5-p2)=t,则式可化为t2-42t+8=0t=22p2-10p+16=0p=2或p=8.故C的方程为y2=4x或y2=16x.4.(1)D(2)B(3)A解析(1)过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2),由y=23(x+2),y2=4x,解得x=1,y=2或x=4,y=4.不妨记M(1,2),N(4,4),抛物线的焦点为F(1,0),所以FMFN=(0,2)(3,4)=8. (2)由双曲线方程知a=3,b=1,则F(2,0).不妨设过点F的直线垂直渐近线x-3y=0于M,交渐近线x+3y=0于N.在RtOMF中,MOF=30,|OF|=2,所以|OM|=3.在RtOMN中,MON=60,|OM|=3,所以|MN|=3.(3)设M(-c,y0),则AM所在直线方程为y=y0-c+a(x+a),令x=0,得E0,ay0-c+a.BM所在直线方程为y=y0-c-a(x-a),令x=0,得y=-ay0-c-a.由题意得-ay0-c-a=12ay0-c+a,解得a=3c,故离心率e=ca=13. 考点考法探究小题1例1(1)A(2)C(3)C解析(1)设圆心为(a,4a2)(aR),半径为r(r0),由题意知,抛物线的焦点为0,116,准线方程为y=-116,则r=4a2+116,所以圆上的点到直线y=-6的距离的最小值为4a2+6-4a2-116=9516,故选A.(2)设|AC|=m,|BC|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a.由题意可得m+n=10-4=6.联立可得m=a+3.因为在双曲线中0ac=2,所以3a+3|FF|=2,动点P的轨迹是椭圆.由椭圆的定义知2a=4,c=1,a=2,b2=a2-c2=3,故动点P的轨迹方程为x24+y23=1.5.4+22解析 根据题意,双曲线C的方程为x2-y2=1,则a=1,b=1,则c=2,则|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=3,|PF2|=1.由c=2,得|F1F2|=2c=22,则PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+22.小题2例2(1)D(2)B解析(1)椭圆C:y26+x22=1的焦点坐标为(0,2),双曲线的焦点坐标为(0,2),可得c=2=a2+b2.由渐近线方程为y=3x,得ab=3,a=3,b=1,双曲线的标准方程为y23-x2=1,故选D.(2)由y2=3x,得2p=3,p=32,则F34,0,过点A,B的直线方程为y=33x-34,即x=3y+34.由y2=3x,x=3y+34,得4y2-123y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=33,y1y2=-94.SOAB=SOAF+SOFB=1234|y1-y2|=38(y1+y2)2-4y1y2=38(33)2+9=94,故选B.【自我检测】1.D解析 当焦点在x轴上时,0m4,a2=14,b2=1m,可得14=2m,得m=8.综上,m的值为2或8,故选D.2.B解析 不妨设点P在双曲线的右支上,由题得|PF1|+|PF2|=6a,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=4a,|PF2|=2a.|F1F2|=2c2a,最短边是PF2,最小内角为PF1F2.由余弦定理得4a2=16a2+4c2-24a2ccos30,c2-23ac+3a2=0,e2-23e+3=0,e=3,得ca=3,c2=3a2,则a2+b2=3a2,得b2=2a2,ba=2,双曲线的渐近线方程为y=2x,故选B.3.C解析 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,当x=a2c时,y=abc.不妨设Aa2c,abc,Ba2c,-abc.60AFB90,33kFB1,即33abcc-a2c1,33ab1,13a2c2-a21,1e2-13,2e24,2e0,b0)的渐近线方程为y=bax,与圆的方程联立得y=bax,(x-2)2+y2=3,整理得到1+b2a2x2-4x+1=0.因为渐近线与圆相切,所以=42-41+b2a2=0,得b2a2=3,又因为双曲线一个焦点为F(2,0),所以a2+b2=22,可得a2=1,b2=3,故双曲线方程为x2-y23=1,故选D.4.C解析 设A(-a,0),M(0,2m),B(a,0),N(0,-3m),其中m0.则直线AM:y=2max+2m,直线BN:y=3max-3m.直线AM,BN的交点为E(c,y),2mca+2m=3mca-3m,则ca=5,双曲线的离心率为5,故选C.备选理由 例1求双曲线的离心率,通过构造关于e的方程去解决;例2是对综合知识的考查,涉及相切问题、弦长问题以及利用导数求切线的方程.例1配例2使用P为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且PF2F1F2,直线PF1与y轴交于点Q,O为坐标原点,若四边形OF2PQ有内切圆,则C的离心率为.答案2解析 易知|OF2|=c,可得Pc,b2a,则四边形OF2PQ的内切圆的圆心为c2,c2,半径为c2,直线PF1的方程为b2x-2acy+b2c=0.由圆心到直线PF1的距离等于c2,得|b2c2-2acc2+b2c|b4+4a2c2=c2,化简得2c2-3ac-2a2=0,2e2-3e-2=0,e=2,故答案为2.例2配例3使用 若双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,且被圆x2+(y-a)2=1截得的弦长为2,则a=()A.52B.102C.5D.10解析B设切点为(x0,x02+1),由y=2x,得切线方程为y-(x02+1)=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02+1.已知双曲线的渐近线为y=abx,-x02+1=0,ab=2x0,解得x0=1,ab=2,则双曲线的一条渐近线方程为y=2x,由题意得,圆心(0,a)到直线y=2x的距离是a5=12-222,解得a=102,故选B.
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